Le disuguaglianze e le disequazioni

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Le disuguaglianze e le disequazioni di primo grado sono concetti fondamentali in matematica. Questo testo esplora i simboli come '<' e '>', le proprietà operative e come rappresentare graficamente le soluzioni su una retta numerica. Scopri le regole per manipolare le disequazioni e mantenere l'insieme soluzione invariato.

Riassunto

Schema

Concetto di disuguaglianza e simboli associati

In matematica, una disuguaglianza è una relazione che esprime una differenza di grandezza tra due numeri o espressioni. I simboli utilizzati per rappresentare le disuguaglianze sono: "

Bilancia a due piatti in equilibrio con sfere metalliche argentate piccole a sinistra e una grande a destra su sfondo neutro.

Proprietà delle disuguaglianze e operazioni consentite

Le disuguaglianze sono soggette a proprietà che permettono di manipolarle senza alterarne il senso. Aggiungendo o sottraendo la stessa quantità ad entrambi i membri di una disuguaglianza, il suo verso rimane inalterato. Lo stesso vale per la moltiplicazione o la divisione per un numero positivo. Invece, moltiplicando o dividendo per un numero negativo, il verso della disuguaglianza si inverte. Queste proprietà sono fondamentali per risolvere le disuguaglianze e per mantenere la relazione di ordine tra i membri. Inoltre, è importante ricordare che le operazioni di moltiplicazione e divisione per zero non sono ammesse, in quanto priverebbero di significato la disuguaglianza.

Introduzione alle disequazioni di primo grado

Una disequazione di primo grado è una disuguaglianza che contiene una variabile al primo grado e si cerca di determinare l'insieme dei valori che la soddisfano. Le disequazioni si classificano in numeriche, quando contengono solo l'incognita e numeri costanti, e letterali, quando includono anche altri parametri. Possono essere inoltre distinte in intere, se l'incognita non compare nei denominatori, o frazionarie, se l'incognita è presente anche nei denominatori. L'obiettivo è trovare l'insieme soluzione, che è l'insieme di tutti i valori dell'incognita per cui la disequazione risulta vera. Questo insieme può essere rappresentato su una retta numerica e può essere un intervallo, che può essere aperto, chiuso, limitato o illimitato.

Risoluzione delle disequazioni e insieme soluzione

Risolvere una disequazione significa trovare l'insieme soluzione, ovvero l'insieme di tutti i valori che, sostituiti all'incognita, rendono vera la disuguaglianza. Per esempio, nella disequazione "x - 1 > 0", l'insieme soluzione è costituito da tutti i valori di x maggiori di 1. Invece, per la disequazione "3 - x > 0", l'insieme soluzione comprende tutti i valori di x minori di 3. L'insieme soluzione può essere rappresentato graficamente su una retta numerica e può assumere la forma di un intervallo, che può essere aperto (escludendo gli estremi) o chiuso (includendo gli estremi), e può essere limitato o illimitato a seconda della forma della disequazione.

Gli intervalli nella rappresentazione delle soluzioni

Gli intervalli sono strumenti utili per rappresentare l'insieme soluzione di una disequazione sulla retta numerica. Un intervallo può essere aperto, come (a, b), dove a e b sono gli estremi che non appartengono all'insieme, o chiuso, come [a, b], dove gli estremi sono inclusi. Inoltre, gli intervalli possono essere illimitati, come (a, +∞) o (-∞, b), dove uno degli estremi si estende all'infinito. La notazione degli intervalli e la loro rappresentazione grafica forniscono un modo immediato per visualizzare l'insieme soluzione di una disequazione, facilitando la comprensione e l'analisi delle soluzioni possibili.

Principi di equivalenza per le disequazioni

I principi di equivalenza per le disequazioni sono regole che permettono di manipolare le disequazioni mantenendo inalterato l'insieme soluzione. Il primo principio afferma che aggiungendo o sottraendo la stessa espressione algebrica a entrambi i membri di una disequazione si ottiene una disequazione equivalente. Questo principio è alla base di operazioni come la regola del trasporto, che consente di spostare un termine da un membro all'altro cambiandone il segno, e la regola di cancellazione, che permette di eliminare termini uguali presenti in entrambi i membri. Questi principi sono essenziali per la risoluzione delle disequazioni e per assicurare che l'insieme soluzione rimanga coerente con la disequazione originale.

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