Operazioni con i polinomi
Mappa concettuale
I polinomi sono elementi fondamentali dell'algebra e comprendono operazioni come somma, sottrazione e moltiplicazione. Scopri come manipolare questi strumenti matematici attraverso esempi pratici e applicazioni dei prodotti notevoli, essenziali per risolvere equazioni e semplificare espressioni.
Riassunto
Schema
Operazioni con i polinomi: somma, sottrazione e classificazione
I polinomi sono espressioni matematiche formate da somme algebriche di monomi, i quali sono prodotti di numeri, detti coefficienti, e variabili elevate a potenze intere non negative. La somma e la sottrazione di polinomi si effettuano combinando i termini simili, cioè quelli che hanno la stessa parte letterale con le stesse variabili elevate alle stesse potenze. Per sommare i polinomi, si allineano i termini simili e si sommano i loro coefficienti. Ad esempio, \( (5a+3b+c) + (-2a+9b+2c) = 3a+12b+3c \). Per sottrarre, si cambiano i segni dei termini del polinomio sottraendo e si procede come nella somma: \( (5a+3b+c) - (-2a+9b+2c) = 7a-6b-c \). È importante notare che i polinomi possono essere classificati in base al loro grado, che è dato dal massimo esponente delle loro variabili, e al numero di termini che contengono, come monomi (un solo termine), binomi (due termini), trinomi (tre termini), ecc.Moltiplicazione di polinomi e monomi
La moltiplicazione tra monomi e polinomi si basa sulla proprietà distributiva dell'algebra. Un monomio moltiplicato per un polinomio comporta la moltiplicazione del monomio per ogni termine del polinomio separatamente. Ad esempio, \( 2a \cdot (3b+c) = 6ab+2ac \). Quando si moltiplicano due polinomi, ogni termine del primo polinomio viene moltiplicato per ogni termine del secondo polinomio. Ad esempio, \( (2x-3y) \cdot (4x^2+2y^3) = 8x^3 - 12x^2y + 4xy^3 - 6y^4 \). Questo processo è noto come prodotto cartesiano dei termini dei polinomi. La moltiplicazione di polinomi è fondamentale per lo sviluppo di espressioni algebriche più complesse e per la risoluzione di equazioni polinomiali.Divisione di un polinomio per un monomio
La divisione di un polinomio per un monomio si effettua dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio. Questo processo è permesso solo se ogni termine del polinomio contiene la variabile presente nel monomio, e la divisione si applica ai coefficienti e alle potenze delle variabili. Ad esempio, dividendo \( 18a^5 - 6a^3 + 9a^6 \) per \( -3a^2 \), si ottiene \( -6a^3 + 2a - 3a^4 \). Questa operazione è utile per semplificare le espressioni algebriche e per determinare il quoziente in tecniche come la divisione sintetica o la scomposizione di polinomi in fattori.Prodotti notevoli e loro applicazioni
I prodotti notevoli sono risultati standard di moltiplicazioni tra polinomi che seguono schemi ricorrenti. Tra questi, il prodotto della somma per la differenza di due termini, come \( (a+b)(a-b) \), dà come risultato la differenza dei quadrati, \( a^2 - b^2 \). Il quadrato di un binomio, come \( (a+b)^2 \), si calcola come \( a^2 + 2ab + b^2 \). Il cubo di un binomio, \( (a+b)^3 \), si sviluppa in \( a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \). Questi schemi permettono di effettuare calcoli complessi più rapidamente e sono utili nella fattorizzazione e nell'espansione di espressioni polinomiali, oltre che nella risoluzione di equazioni algebriche.
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Somma e sottrazione di polinomi
Definizione di polinomi
I polinomi sono espressioni matematiche formate da somme algebriche di monomi
Somma di polinomi
Termini simili
I termini simili sono quelli che hanno la stessa parte letterale con le stesse variabili elevate alle stesse potenze
Procedimento
Per sommare i polinomi, si allineano i termini simili e si sommano i loro coefficienti
Sottrazione di polinomi
Cambio dei segni
Per sottrarre, si cambiano i segni dei termini del polinomio sottraendo e si procede come nella somma
Classificazione dei polinomi
Definizione di grado
Il grado di un polinomio è dato dal massimo esponente delle sue variabili
Numero di termini
I polinomi possono essere classificati in base al numero di termini che contengono, come monomi, binomi, trinomi, ecc
Moltiplicazione di monomi e polinomi
Proprietà distributiva
La moltiplicazione di un monomio per un polinomio si basa sulla proprietà distributiva dell'algebra
Moltiplicazione di un monomio per un polinomio
Un monomio moltiplicato per un polinomio comporta la moltiplicazione del monomio per ogni termine del polinomio separatamente
Moltiplicazione di due polinomi
Quando si moltiplicano due polinomi, ogni termine del primo polinomio viene moltiplicato per ogni termine del secondo polinomio
Divisione di un polinomio per un monomio
Definizione di divisione di un polinomio per un monomio
La divisione di un polinomio per un monomio si effettua dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio
Condizioni per la divisione
La divisione è permessa solo se ogni termine del polinomio contiene la variabile presente nel monomio
Utilità della divisione
La divisione è utile per semplificare le espressioni algebriche e per determinare il quoziente in tecniche come la divisione sintetica o la scomposizione di polinomi in fattori
Prodotti notevoli
Definizione di prodotti notevoli
I prodotti notevoli sono risultati standard di moltiplicazioni tra polinomi che seguono schemi ricorrenti
Esempi di prodotti notevoli
Prodotto della somma per la differenza
Il prodotto della somma per la differenza di due termini dà come risultato la differenza dei quadrati
Quadrato di un binomio
Il quadrato di un binomio si calcola come la somma del quadrato dei termini e del doppio del prodotto dei termini
Cubo di un binomio
Il cubo di un binomio si sviluppa in un polinomio di quattro termini
Applicazioni dei prodotti notevoli
Utilità dei prodotti notevoli
I prodotti notevoli sono utili per effettuare calcoli complessi più rapidamente e per risolvere equazioni algebriche
Applicazioni nella fattorizzazione
I prodotti notevoli sono utili nella fattorizzazione di espressioni polinomiali
Applicazioni nell'espansione di espressioni
I prodotti notevoli sono utili nell'espansione di espressioni algebriche
Operazioni con i polinomi
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00
I polinomi sono composti da somme algebriche di ______, che includono numeri chiamati ______ e variabili con esponenti interi non negativi.
monomi
coefficienti
01
I polinomi vengono distinti in base al loro ______, determinato dall'esponente massimo, e al numero di termini, come monomi, binomi, trinomi, ecc.
grado
02
Proprietà distributiva nell'algebra
Permette di moltiplicare un monomio per un polinomio, distribuendo il monomio a ogni termine del polinomio.
