Analisi Matematica e Integrali Doppi

Definizione e Caratteristiche dei Domini Normali

In analisi matematica, specialmente nello studio degli integrali doppi, il concetto di dominio normale è cruciale. Un dominio chiuso T nel piano cartesiano xy è definito normale rispetto all'asse x se può essere descritto dalla relazione T = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}, dove α(x) e β(x) sono funzioni continue sull'intervallo chiuso [a, b]. Queste funzioni possono coincidere agli estremi dell'intervallo, ma non necessariamente. In modo simile, T è normale rispetto all'asse y se può essere espresso come T = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, γ(y) ≤ x ≤ δ(y)}, dove γ(y) e δ(y) sono funzioni continue sull'intervallo [c, d]. Un dominio può essere considerato normale se è l'unione di domini normali rispetto a uno dei due assi. La misurabilità di T è assicurata dalla possibilità di inscrivere e circoscrivere a T dei plurirettangoli con misure arbitrariamente vicine. La misura di T, denotata con mis(T), si determina integrando la differenza tra le funzioni che definiscono i limiti superiori e inferiori del dominio.

Misurabilità e Calcolo dell'Integrale Doppio per Funzioni Positive

Quando una funzione f(x, y) è positiva e continua su un dominio normale T, il suo sottografico è misurabile. Il teorema di misurabilità stabilisce che, in queste condizioni, l'integrale doppio di f(x, y) corrisponde alla misura del sottografico di f. Matematicamente, ciò si esprime come ∬_T f(x, y) dA = mis(sott_f(T)), dove dA è l'elemento di area nel piano xy. Questa definizione si generalizza a funzioni di segno non costante, decomponendo la funzione in una parte positiva e una negativa e calcolando separatamente i loro integrali doppi.

Proprietà di Linearità, Additività e Monotonia degli Integrali Doppi

Gli integrali doppi possiedono proprietà importanti come la linearità, l'additività e la monotonia. La linearità indica che l'integrale della somma di due funzioni, ciascuna moltiplicata per una costante reale, è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni, ciascuno moltiplicato per la propria costante. L'additività permette di suddividere l'integrale su un dominio T in integrali su sottodomini T1 e T2, a condizione che questi siano normali e non si sovrappongano. La monotonia afferma che se f(x, y) ≤ g(x, y) per ogni punto in T, allora ∬_T f(x, y) dA ≤ ∬_T g(x, y) dA.

Esempi Pratici di Applicazione degli Integrali Doppi

Numerosi esempi dimostrano l'utilizzo delle proprietà degli integrali doppi. Ad esempio, l'integrale doppio di una funzione dispari su un dominio simmetrico rispetto a un asse è zero. Questo si verifica nel caso di una funzione integranda dispari definita su un dominio ellittico simmetrico. In altri contesti, come l'integrazione di una funzione che non è né pari né dispari su un dominio simmetrico, può essere necessario dividere l'integrale in parti per sfruttare la simmetria del dominio. Altri esempi illustrano come l'integrale doppio possa essere semplificato in un prodotto di integrali semplici quando la funzione integranda e il dominio presentano simmetrie o proprietà particolari.

Dimostrazione della Misurabilità del Sottografico di Funzioni Positive

La dimostrazione della misurabilità del sottografico di una funzione positiva f(x, y) si fonda sull'esame delle sezioni Sx, che sono parallele al piano yz e si ottengono fissando x. Ogni sezione Sx è misurabile e la sua area è data dall'integrale di f(x, y) rispetto a y, valutato tra i limiti α(x) e β(x). Integrando queste aree rispetto a x sull'intervallo [a, b], si ottiene la misura totale del sottografico di f, equivalente all'integrale doppio di f sul dominio T. Questo procedimento conferma la coerenza tra la definizione di integrale doppio e la misurabilità del dominio di integrazione.