Analisi Matematica e Integrali Doppi

Definizione e Caratteristiche dei Domini Normali

In analisi matematica, specialmente nello studio degli integrali doppi, il concetto di dominio normale è cruciale. Un dominio chiuso T nel piano cartesiano xy è definito normale rispetto all'asse x se può essere descritto dalla relazione T = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}, dove α(x) e β(x) sono funzioni continue sull'intervallo chiuso [a, b]. Queste funzioni possono coincidere agli estremi dell'intervallo, ma non necessariamente. In modo simile, T è normale rispetto all'asse y se può essere espresso come T = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, γ(y) ≤ x ≤ δ(y)}, dove γ(y) e δ(y) sono funzioni continue sull'intervallo [c, d]. Un dominio può essere considerato normale se è l'unione di domini normali rispetto a uno dei due assi. La misurabilità di T è assicurata dalla possibilità di inscrivere e circoscrivere a T dei plurirettangoli con misure arbitrariamente vicine. La misura di T, denotata con mis(T), si determina integrando la differenza tra le funzioni che definiscono i limiti superiori e inferiori del dominio.

Misurabilità e Calcolo dell'Integrale Doppio per Funzioni Positive

Quando una funzione f(x, y) è positiva e continua su un dominio normale T, il suo sottografico è misurabile. Il teorema di misurabilità stabilisce che, in queste condizioni, l'integrale doppio di f(x, y) corrisponde alla misura del sottografico di f. Matematicamente, ciò si esprime come ∬_T f(x, y) dA = mis(sott_f(T)), dove dA è l'elemento di area nel piano xy. Questa definizione si generalizza a funzioni di segno non costante, decomponendo la funzione in una parte positiva e una negativa e calcolando separatamente i loro integrali doppi.