Le disequazioni di primo grado fratte rappresentano un capitolo fondamentale dell'algebra. Richiedono l'analisi del segno di numeratore e denominatore e l'applicazione dei principi di equivalenza per la risoluzione. La comprensione delle condizioni di esistenza è cruciale per evitare valori non ammessi e garantire la correttezza delle soluzioni. Gli studenti devono esercitarsi per padroneggiare le strategie risolutive e interpretare correttamente gli intervalli di soluzione.
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Le disequazioni di primo grado numeriche fratte si distinguono dalle equazioni per la presenza di un segno di disuguaglianza e di una variabile al denominatore
Trasformazione in un'unica frazione
La risoluzione delle disequazioni fratte comporta la trasformazione in un'unica frazione, confrontata poi con lo zero
Determinazione di un denominatore comune
Per risolvere efficacemente le disequazioni fratte è necessario determinare un denominatore comune, scomporre i polinomi nei denominatori e sommare algebricamente i numeratori
Analisi delle soluzioni
Dopo aver ottenuto le disequazioni dalle condizioni di non nullità dei denominatori e dal confronto con lo zero, si analizzano separatamente le soluzioni per determinare gli intervalli di validità della disequazione
Le condizioni di esistenza sono essenziali per garantire che i denominatori delle frazioni non siano zero, condizione necessaria per la validità matematica della disequazione
Primo principio di equivalenza
Il primo principio di equivalenza permette di aggiungere o sottrarre lo stesso termine ad entrambi i membri della disequazione
Secondo principio di equivalenza
Il secondo principio di equivalenza autorizza la moltiplicazione o la divisione per un'espressione non nulla, con l'attenzione di invertire il segno di disuguaglianza se l'espressione è negativa
La strategia risolutiva per le disequazioni fratte prevede lo studio del segno di numeratore e denominatore separatamente, poiché il secondo principio di equivalenza non è sempre applicabile
Per risolvere le disequazioni fratte è necessario analizzare gli intervalli in cui il denominatore è non nullo e positivo o negativo, tenendo conto del segno delle espressioni coinvolte
Nella disequazione \( \frac{3x - 7}{1 + x^2} \leq 0 \), il denominatore \( 1 + x^2 \) è sempre positivo, quindi è possibile semplificare la disequazione moltiplicando entrambi i membri per \( 1 + x^2 \) senza invertire il segno di disuguaglianza
Nella disequazione \( \frac{x - 2}{x + 1} \geq 0 \), il denominatore \( x + 1 \) è sempre negativo, quindi è necessario invertire il segno di disuguaglianza quando si moltiplica entrambi i membri per \( x + 1 \)
Nella disequazione \( \frac{x - 3}{x^2 - 4} < 0 \), il denominatore \( x^2 - 4 \) cambia segno in due intervalli, quindi è necessario analizzare separatamente il segno del numeratore e del denominatore per determinare gli intervalli di validità della disequazione
00
Le ______ sono espressioni che contengono una variabile al ______ e si riconoscono per il segno di ______.
disequazioni di primo grado numeriche fratte
denominatore
disuguaglianza
01
Principio di equivalenza: aggiunta/sottrazione
Per mantenere l'equivalenza, si può aggiungere o sottrarre lo stesso termine ad entrambi i membri di una disequazione.
02
Principio di equivalenza: moltiplicazione/divisione
Si può moltiplicare o dividere entrambi i membri di una disequazione per uno stesso termine non nullo, invertendo il segno se il termine è negativo.
