L'evoluzione dei numeri nella matematica

Dall'origine dei numeri naturali all'insieme dei numeri reali

La matematica si fonda sull'insieme dei numeri naturali, utilizzati per contare oggetti e quantità discrete. Questi numeri formano l'insieme N, che include tutti i numeri interi positivi a partire dall'1. Con l'avanzamento dello studio, si introducono i numeri interi, che comprendono i numeri naturali, i loro opposti negativi e lo zero, formando l'insieme Z. Successivamente, si estende il concetto ai numeri razionali, rappresentati dall'insieme Q, che include tutte le frazioni e i numeri interi, sia positivi che negativi. L'insieme dei numeri reali, indicato con R, è costituito da tutti i numeri razionali e irrazionali, come radici quadrate non perfette e il numero π. Questi numeri possono essere rappresentati su una retta numerica che si estende all'infinito in entrambe le direzioni. La relazione tra questi insiemi è espressa dalla catena di inclusioni N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, indicando che ogni insieme è contenuto nel successivo. Le operazioni matematiche e le loro proprietà, come la proprietà associativa e commutativa, si applicano a tutti i numeri reali, permettendo una vasta gamma di calcoli e applicazioni.

Le operazioni con i numeri relativi e le loro proprietà

I numeri relativi, ovvero i numeri interi positivi e negativi, permettono l'introduzione dell'operazione di elevamento a potenza con esponente naturale. La potenza di un numero relativo è il prodotto ripetuto del numero per se stesso tante volte quante ne indica l'esponente. Le regole dei segni per l'elevamento a potenza stabiliscono che una base positiva dà sempre una potenza positiva, mentre una base negativa con esponente pari produce una potenza positiva e con esponente dispari una potenza negativa. Le proprietà delle potenze, come il prodotto e il quoziente di potenze con la stessa base o con lo stesso esponente, si estendono ai numeri relativi. Inoltre, l'elevamento a potenza con esponente intero negativo è definito come l'inverso della base elevata all'opposto dell'esponente, e le regole dei segni e le proprietà delle potenze rimangono valide.

L'addizione e la sottrazione algebrica dei numeri relativi

L'addizione e la sottrazione di numeri relativi sono operazioni fondamentali che possono essere trattate come un'unica operazione algebrica. La sottrazione di due numeri relativi si trasforma in addizione sommando il minuendo con l'opposto del sottraendo. Per l'addizione algebrica, se i numeri hanno lo stesso segno, si sommano i loro valori assoluti mantenendo il segno comune; se hanno segni opposti, si sottrae il valore assoluto minore da quello maggiore e si assegna il segno del numero con il valore assoluto maggiore. Questo processo può essere visualizzato sulla retta numerica, dove un movimento verso destra indica un incremento e verso sinistra una diminuzione.

Il valore assoluto e il confronto tra numeri relativi

Il valore assoluto di un numero relativo è il valore del numero senza tener conto del segno, e si indica con due barre verticali, ad esempio |−3| = 3. Il valore assoluto di zero è zero. I numeri relativi possono essere concordi (con lo stesso segno), discordi (con segni opposti) o opposti (con lo stesso valore assoluto ma segni contrari). Per confrontare numeri relativi, si utilizza la retta numerica: un numero è maggiore di un altro se si trova alla sua destra e minore se si trova alla sua sinistra. I numeri positivi, maggiori di zero, possono essere scritti con o senza il segno +, mentre i numeri negativi, minori di zero, sono sempre preceduti dal segno -.

La divisione tra numeri relativi e il ruolo dello zero

La divisione tra numeri relativi segue la regola dei segni, simile a quella della moltiplicazione: il quoziente di due numeri concordi è positivo, mentre il quoziente di due numeri discordi è negativo. Una frazione rappresenta un quoziente e segue la stessa regola dei segni. Lo zero gioca un ruolo particolare nelle divisioni: dividere zero per un numero non nullo dà come risultato zero, ma dividere per zero non è definito e si considera un'operazione impossibile o indeterminata. Se il dividendo è diverso da zero e il divisore è zero, la divisione è impossibile perché nessun numero moltiplicato per zero può dare un risultato diverso da zero. Se sia il dividendo sia il divisore sono zero, la divisione è indeterminata, poiché non esiste un numero univoco che moltiplicato per zero dia zero.