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Il concetto di funzione e la sua importanza nelle scienze

Il concetto di funzione in matematica è essenziale per stabilire relazioni tra grandezze e modellare fenomeni scientifici. Una funzione associa ogni elemento di un dominio a un unico elemento del codominio, permettendo di esplorare proprietà come dominio, codominio, simmetrie, segno e comportamento grafico.

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1

In ______, una funzione è una relazione che associa ogni elemento di un insieme, chiamato ______, a un unico elemento di un altro insieme, noto come ______.

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matematica dominio codominio

2

La proprietà che distingue una funzione è la sua ______, ovvero ad ogni elemento del ______ corrisponde un solo elemento del ______.

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univocità dominio codominio

3

Definizione di funzione

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Associazione che a ogni elemento di un insieme X ne corrisponde uno e uno solo in Y.

4

Variabile indipendente vs dipendente

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In una funzione, x è la variabile indipendente e f(x) è la variabile dipendente.

5

Notazione f(x)

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Indica che y è funzione di x, ovvero y dipende dal valore di x.

6

Le funzioni matematiche si dividono in due categorie principali: ______ e ______.

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algebriche trascendenti

7

Determinazione del dominio: condizioni di esistenza

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Per trovare il dominio, si verificano le condizioni come denominatore diverso da zero e radicando non negativo.

8

Dominio e rappresentazione grafica

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Il dominio è visibile sul grafico della funzione come l'intervallo sull'asse X coperto dal grafico.

9

Differenza tra codominio e insieme immagine

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Il codominio è l'insieme di tutti i possibili output, l'insieme immagine è quello dei valori effettivamente assunti.

10

Per determinare gli zeri di una funzione, si imposta ______ = 0 e si calcola l'equazione ______ = 0.

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y f(x)

11

Se una funzione soddisfa la condizione f(-x) = , allora è definita pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all'.

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f(x) asse Y

12

Una funzione si dice dispari se f(-x) = -______ e il suo grafico presenta simmetria rispetto ______.

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f(x) all'origine

13

Se f(-x) non è uguale a f(x) né a -f(x), la funzione non ha simmetrie ______.

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particolari

14

Significato del segno di una funzione

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Indica dove la funzione è positiva (sopra asse X) o negativa (sotto asse X).

15

Studio degli intervalli di positività/negatività

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Analisi degli intervalli dove f(x) > 0 (positiva) e f(x) < 0 (negativa).

16

Importanza del grafico di una funzione

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Fornisce una rappresentazione visiva delle regioni di positività e negatività.

Q&A

Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento

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Il concetto di funzione e la sua importanza nelle scienze

In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi che associa ad ogni elemento di un insieme di partenza, detto dominio, esattamente un elemento di un insieme di arrivo, detto codominio. Questa relazione è fondamentale per descrivere matematicamente la dipendenza di una grandezza da un'altra, permettendo di modellare e analizzare fenomeni in campi come la fisica, la biologia, l'economia e l'ingegneria. La caratteristica distintiva di una funzione è la sua univocità: a ogni elemento del dominio corrisponde un solo elemento del codominio, a differenza di una generica relazione che può associare più elementi a uno stesso elemento del dominio.
Lavagna scolastica verde con curve colorate in gesso che intersecano assi cartesiani, circondata da cornice in legno scuro.

Definizione e rappresentazione delle funzioni

Una funzione f da un insieme X a un insieme Y associa ad ogni elemento x di X un unico elemento y di Y, denotato con f(x). Le funzioni possono essere rappresentate in vari modi: mediante una rappresentazione sagittale, che utilizza frecce per collegare gli elementi di X a quelli di Y; attraverso una formula matematica che esprime la legge di corrispondenza; con una tabella che elenca le coppie ordinate (x, f(x)); o con un grafico nel piano cartesiano, dove ogni coppia ordinata (x, f(x)) è rappresentata da un punto. La variabile x è detta variabile indipendente, mentre y è la variabile dipendente. La notazione f(x) indica che y è funzione di x.

Studio e classificazione delle funzioni

Lo studio di una funzione include l'analisi di proprietà come il dominio, le intersezioni con gli assi, le simmetrie, il segno, la continuità, gli asintoti e la monotonia. Queste caratteristiche aiutano a comprendere il comportamento della funzione e a tracciare il suo grafico. Le funzioni si classificano in algebriche, che comprendono polinomi, funzioni razionali e irrazionali, e trascendenti, come le funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. La classificazione aiuta a identificare le tecniche di studio e di risoluzione più appropriate per ciascun tipo di funzione.

Dominio, codominio e insieme immagine

Il dominio di una funzione è l'insieme di tutti i valori di input per cui la funzione è definita. Il codominio è l'insieme di tutti i possibili valori di output, mentre l'insieme immagine è l'insieme di tutti i valori effettivamente assunti dalla funzione. Per determinare il dominio, si considerano le condizioni di esistenza, come la non nullità del denominatore nelle funzioni razionali o la non negatività del radicando nelle funzioni con radici di indice pari. Il dominio può essere anche identificato graficamente, osservando l'intervallo sull'asse X coperto dal grafico della funzione.

Intersezioni con gli assi cartesiani e simmetrie delle funzioni

Le intersezioni di una funzione con gli assi cartesiani forniscono informazioni importanti sul suo comportamento. Per trovare gli zeri della funzione, si pone y = 0 e si risolve l'equazione f(x) = 0; per trovare l'intersezione con l'asse Y, si valuta f(0). Le simmetrie di una funzione si studiano considerando f(-x) rispetto a f(x): se f(-x) = f(x), la funzione è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse Y; se f(-x) = -f(x), la funzione è dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine. Se non si verifica nessuna delle due condizioni, la funzione non presenta simmetrie particolari.

Segno della funzione e intervalli di positività e negatività

Il segno di una funzione indica dove essa assume valori positivi o negativi. Per studiare il segno, si analizzano gli intervalli in cui f(x) > 0 (positività) e f(x) < 0 (negatività). Questo studio è cruciale per comprendere il comportamento della funzione e per tracciare il suo grafico con precisione. Il grafico di una funzione mostra visivamente le regioni in cui essa è sopra l'asse X (positiva) o sotto l'asse X (negativa), fornendo una rappresentazione immediata degli intervalli di positività e negatività.