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La convergenza e divergenza delle serie numeriche sono concetti fondamentali in matematica. Una serie converge se la somma parziale tende a un limite finito, mentre diverge se tende all'infinito. Criteri come il rapporto, la radice e Raabe aiutano a determinare il comportamento delle serie. La convergenza assoluta implica la convergenza, ma non viceversa. Questi principi sono essenziali per l'analisi delle serie di funzioni e la loro continuità.
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Le somme parziali di una serie numerica sono utilizzate per studiare il comportamento della serie
Convergenza
Una serie è considerata convergente se la successione delle somme parziali converge a un limite finito
Divergenza
Una serie è considerata divergente se la successione delle somme parziali tende all'infinito
Oscillazione e indeterminazione
Una serie è considerata oscillante o indeterminata se la successione delle somme parziali non converge né diverge verso un limite specifico
Una serie costante è formata da termini uguali a una costante e può essere convergente, divergente positivamente o divergente negativamente
Una serie telescopica converge sempre a un valore specifico, spesso 1
La serie geometrica ha comportamenti diversi a seconda del valore di x e può essere convergente, divergente o oscillante
Le serie a termini non negativi possono avere un limite finito o tendere all'infinito e la loro convergenza è assicurata se esiste un limite superiore finito per la successione delle somme parziali
Il criterio del confronto diretto afferma che se i termini di una serie sono sempre minori o uguali dei termini di un'altra serie convergente, allora anche la prima serie converge
Il criterio del confronto asintotico si basa sul limite del rapporto tra i termini di due serie e determina se le due serie condividono lo stesso carattere di convergenza o divergenza
Il criterio del rapporto e della radice valuta il limite del rapporto o della radice n-esima dei termini di una serie per determinare se la serie converge o diverge
Il criterio di Raabe valuta il limite di una specifica espressione per determinare se una serie converge o diverge
Una serie di funzioni è una serie in cui i termini sono espressioni di funzioni definite su un intervallo
La convergenza di una serie di funzioni può essere puntuale, quando la serie converge per ogni valore dell'intervallo, o uniforme, quando la convergenza avviene in modo uniforme su tutto l'intervallo
00
Definizione di serie convergente
Una serie ∑a_n è convergente se la successione delle somme parziali {s_n} ha un limite finito s.
01
Definizione di serie divergente
Una serie ∑a_n è divergente se la successione delle somme parziali {s_n} tende a +∞ o -∞.
02
Definizione di serie oscillante
Una serie è oscillante se la successione delle somme parziali {s_n} non converge né diverge verso un limite specifico.
