Serie numeriche e loro convergenza

Convergenza e Divergenza delle Serie Numeriche

Nell'analisi matematica, le serie numeriche sono oggetto di studio per comprendere il comportamento delle loro somme parziali, indicate con {s_n}. Una serie ∑a_n è definita convergente se la successione {s_n} delle somme parziali converge a un limite finito s, e si scrive ∑a_n = s. Se la successione {s_n} tende all'infinito, la serie è detta divergente; in particolare, diverge positivamente se tende a +∞ e negativamente se tende a -∞. Una serie è considerata oscillante o indeterminata se la successione {s_n} non converge né diverge verso un limite specifico, ma oscilla senza stabilizzarsi.

Esempi di Serie Convergenti e Divergenti

Un esempio elementare di serie è quella costante, dove ogni termine a_n è uguale a una costante k. La somma parziale s_n è nk se k è diverso da zero. Pertanto, la serie converge a zero se k = 0, diverge positivamente se k > 0 e negativamente se k < 0. Un altro esempio è la serie telescopica, che per definizione converge a un valore specifico, spesso 1. La serie geometrica ∑x^n, con n che parte da 0, ha comportamenti differenti a seconda del valore di x: converge a 1/(1-x) se |x| < 1, diverge se x ≥ 1, e oscilla se x ≤ -1.

Criteri di Convergenza per Serie a Termini Non Negativi

Le serie a termini non negativi presentano una successione delle somme parziali monotona crescente, che può avere un limite finito o tendere all'infinito. La convergenza è assicurata se esiste un limite superiore finito per {s_n}. Il criterio del confronto diretto afferma che, date due serie ∑a_n e ∑b_n con termini non negativi tali che a_n ≤ b_n per ogni n, se ∑b_n converge, allora anche ∑a_n converge; se ∑a_n diverge, allora anche ∑b_n diverge. Il criterio del confronto asintotico si basa sul limite del rapporto a_n/b_n per n che tende all'infinito: se tale limite è positivo e finito, le due serie condividono lo stesso carattere di convergenza o divergenza; se il limite è zero e ∑b_n converge, allora anche ∑a_n converge.

Criteri di Convergenza per Serie a Termini Positivi

Per le serie a termini positivi, il criterio del rapporto esamina il limite di a_(n+1)/a_n per n che tende all'infinito. Se il limite è maggiore di 1, la serie diverge; se è minore di 1, la serie converge. Il criterio della radice considera il limite della radice n-esima di a_n: se questo limite è maggiore di 1, la serie diverge; se è minore di 1, la serie converge. Il criterio di Raabe valuta il limite di n(a_n/a_(n+1) - 1): se è maggiore di 1, la serie converge; se è minore di 1, la serie diverge.

Serie Assolutamente Convergenti e Serie di Funzioni

Una serie ∑a_n si dice assolutamente convergente se la serie dei valori assoluti ∑|a_n| converge. Una serie che è assolutamente convergente risulta anche convergente, ma non vale necessariamente il contrario. Per le serie di funzioni, si considerano espressioni del tipo ∑f_n(x), dove f_n è una funzione definita su un intervallo (a, b). La convergenza di queste serie può essere puntuale, quando la serie converge per ogni x nell'intervallo, o uniforme, quando la convergenza avviene in modo uniforme su tutto l'intervallo. La convergenza uniforme è particolarmente importante perché preserva la continuità e la differenziabilità delle funzioni coinvolte.