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L'algebra lineare è essenziale per comprendere vettori, spazi vettoriali e trasformazioni lineari. Scopri come matrici, determinanti e basi definiscono la struttura e le soluzioni di sistemi lineari, e come gli autovalori e autovettori portano alla diagonalizzazione.
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Uno spazio vettoriale è un insieme dotato di due operazioni, somma e prodotto per uno scalare, che soddisfano determinate proprietà
Gli esempi di spazi vettoriali includono i campi dei numeri reali e complessi
Un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale che è esso stesso uno spazio vettoriale
La combinazione lineare di vettori permette di esprimere un vettore come somma di prodotti di scalari per altri vettori
Un insieme di vettori è detto essere un insieme di generatori di uno spazio vettoriale se ogni elemento dello spazio può essere espresso come combinazione lineare di tali vettori
Un insieme di vettori è detto linearmente indipendente se l'unica combinazione lineare che produce il vettore nullo è quella in cui tutti gli scalari sono nulli
Una matrice è una rappresentazione tabulare di numeri o elementi di un campo, organizzati in righe e colonne
Esistono diverse tipologie di matrici, come quelle triangolari, diagonali e la matrice identità
Le operazioni fondamentali tra matrici includono l'addizione, la sottrazione e il prodotto
Il determinante è una funzione che associa a ogni matrice quadrata un valore scalare, fornendo informazioni significative sulla matrice stessa
Il determinante cambia segno se due righe o colonne vengono scambiate e si annulla se la matrice ha due righe o colonne proporzionali o se una riga o colonna è una combinazione lineare di altre
Il determinante di una matrice triangolare, sia superiore che inferiore, è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale
Il rango di una matrice corrisponde al massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti presenti nella matrice
Il rango è un indicatore fondamentale per determinare la solvibilità di un sistema di equazioni lineari
Un sistema è detto determinato, indeterminato o impossibile in base al rango della matrice dei coefficienti e della matrice ampliata
Una base di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori che sono sia generatori che linearmente indipendenti
La dimensione di uno spazio vettoriale è definita come il numero di vettori che compongono una base
Per determinare le basi di un sottospazio, si analizzano i vincoli che lo definiscono e si costruisce una matrice con i coefficienti delle variabili libere
Un'applicazione lineare è una funzione tra due spazi vettoriali che preserva le operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione per uno scalare
La matrice associata a un'applicazione lineare rappresenta questa funzione in termini delle basi degli spazi vettoriali di partenza e di arrivo
La composizione di applicazioni lineari corrisponde al prodotto delle rispettive matrici associate
Gli autovalori sono scalari tali che, per un dato endomorfismo, esistono vettori non nulli (autovettori) che vengono trasformati in multipli scalari di se stessi
Per trovare gli autovalori, si calcola il polinomio caratteristico, che si ottiene dal determinante della matrice associata all'endomorfismo meno un multiplo scalare della matrice identità
Una matrice è diagonalizzabile se esiste una matrice invertibile che la trasforma in una matrice diagonale, il che avviene se e solo se la matrice ha tanti autovettori linearmente indipendenti quanti è la sua dimensione
00
Gli spazi vettoriali sono definiti da due operazioni: la ______ e il ______ per uno scalare.
somma
prodotto
01
Un insieme di vettori è considerato ______ se ogni elemento dello spazio può essere scritto come combinazione lineare di questi vettori.
un insieme di generatori
02
Tipologie di matrici
Triangolari, diagonali, identità. Identità: diagonale principale con tutti elementi uguali a uno.
