Trigonometria

Misure degli Angoli in Trigonometria

La trigonometria utilizza due sistemi principali per la misurazione degli angoli: il sistema sessagesimale e il sistema circolare. Nel sistema sessagesimale, l'unità di misura è il grado sessagesimale, definito come la trecentosessantesima parte di un angolo giro e la novantesima parte di un angolo retto. Il sistema circolare, d'altra parte, utilizza il radiante, che è l'angolo al centro di un cerchio che sottende un arco la cui lunghezza è uguale al raggio del cerchio stesso. Un angolo completo di 360° equivale a 2π radianti, e un angolo di 180° corrisponde a π radianti. La conversione tra gradi e radianti si basa sulla relazione proporzionale 180° : π = x° : x rad, che permette di derivare le formule per convertire un'unità nell'altra.

Definizione e Rappresentazione delle Funzioni Goniometriche

Le funzioni goniometriche, quali seno, coseno e tangente, sono definite sulla circonferenza goniometrica, che ha raggio unitario e centro nell'origine di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali. Per un angolo α, il seno corrisponde all'ordinata del punto di intersezione tra il lato terminale dell'angolo e la circonferenza, il coseno all'ascissa, e la tangente al rapporto tra ordinata e ascissa. Queste funzioni sono senza dimensione e il loro valore dipende unicamente dall'ampiezza dell'angolo α. La tangente non è definita per angoli che rendono il punto di intersezione coincidente con l'asse delle ordinate. Le funzioni goniometriche sono rappresentate graficamente da curve periodiche e simmetriche: la sinusoide per il seno, la cosinusoide per il coseno e la tangentoide per la tangente.

Valori Fondamentali e Archi Associati delle Funzioni Goniometriche

È fondamentale conoscere i valori delle funzioni goniometriche per angoli particolari come 0°, 30°, 45°, 60° e 90°, e i loro equivalenti in radianti. Esistono inoltre formule che permettono di calcolare i valori delle funzioni goniometriche per angoli associati, quali angoli complementari, supplementari, esplementari e angoli ottenuti aggiungendo multipli interi di π o 2π. Queste relazioni consentono di ampliare la conoscenza dei valori fondamentali a un insieme più vasto di angoli, semplificando la risoluzione di problemi trigonometrici complessi.

Teorema Fondamentale della Trigonometria e Formule Principali

Il teorema fondamentale della trigonometria afferma che per ogni angolo α, la somma dei quadrati del seno e del coseno è sempre pari a 1 (sen²α + cos²α = 1). Questa identità trigonometrica è la base per esprimere una funzione goniometrica in termini dell'altra. Altre formule importanti includono quelle per la somma e la differenza di angoli, la duplicazione e la bisezione degli angoli, e le definizioni di funzioni goniometriche complementari come la cotangente, la secante e la cosecante. Queste formule sono essenziali per la manipolazione algebrica e la soluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche.

Equazioni e Disequazioni Goniometriche

Le equazioni goniometriche contengono incognite all'interno degli argomenti delle funzioni goniometriche e possono avere un numero infinito di soluzioni a causa della periodicità di tali funzioni. Per risolverle, è necessario conoscere i valori delle funzioni goniometriche per angoli notevoli e considerare tutti gli angoli che si ottengono sommando multipli interi dei periodi delle funzioni. Le disequazioni goniometriche, invece, richiedono di determinare il segno delle funzioni goniometriche nei vari quadranti e di comprendere il loro comportamento grafico. La soluzione di queste disequazioni si basa sulla conoscenza approfondita delle proprietà delle funzioni goniometriche e sulla loro rappresentazione grafica.