Il moto di un punto materiale su un piano

Il Vettore Posizione e lo Spostamento nel Piano Cartesiano

In fisica, per descrivere il moto di un punto materiale su un piano, si adotta un sistema di riferimento cartesiano definito da due assi perpendicolari, solitamente indicati come asse x e asse y. La posizione di un punto P in questo sistema è specificata dalle sue coordinate cartesiane (x_p, y_p), che possono essere rappresentate anche attraverso un vettore posizione \(\vec{s}\), il quale ha origine nell'origine degli assi O e termina nel punto P. Il modulo di \(\vec{s}\), indicato con |\(\vec{s}\)|, corrisponde alla distanza euclidea dall'origine al punto P. Se si considerano due posizioni del punto materiale in istanti temporali differenti t1 e t2, con i corrispondenti vettori posizione \(\vec{s_1}\) e \(\vec{s_2}\), lo spostamento vettoriale \(\Delta\vec{s}\) è definito come la differenza \(\vec{s_2} - \vec{s_1}\). Questo vettore rappresenta la variazione di posizione nel corso del tempo \(\Delta t = t2 - t1\) e si determina attraverso la sottrazione vettoriale, tenendo conto delle componenti lungo gli assi del sistema di riferimento.

La Traiettoria e lo Spostamento di un Punto Materiale

Lo spostamento vettoriale \(\Delta\vec{s}\) di un punto materiale fornisce una misura sintetica del cambiamento di posizione, ma non descrive il percorso effettivamente seguito dal punto, ovvero la sua traiettoria. La direzione e il verso del vettore \(\Delta\vec{s}\) indicano la linea retta che congiunge la posizione iniziale con quella finale, mentre il suo modulo rappresenta la lunghezza di tale segmento. Per intervalli di tempo molto brevi, lo spostamento \(\Delta\vec{s}\) tende ad avvicinarsi alla traiettoria reale del punto materiale. In particolare, per intervalli di tempo infinitesimi, lo spostamento assume la direzione della tangente alla traiettoria nel punto considerato, fornendo una buona approssimazione dell'istante di moto del punto materiale.

Il Moto Circolare Uniforme e le Sue Caratteristiche

Il moto circolare uniforme è caratterizzato dal movimento di un punto materiale lungo una circonferenza di raggio r, mantenendo una velocità angolare costante. Il periodo T è il tempo impiegato per compiere un'intera rivoluzione, mentre la frequenza f, espressa in hertz (Hz), è il numero di rivoluzioni completate in un secondo, con la relazione f = 1/T. Durante il moto circolare uniforme, il vettore raggio \(\vec{r}\) ruota attorno al centro della circonferenza, descrivendo un angolo al centro \(\Delta\theta\) in un dato intervallo di tempo, che rappresenta lo spostamento angolare.

L'Angolo in Radianti e la Velocità Angolare

L'unità di misura degli angoli nel Sistema Internazionale è il radiante (rad), definito come il rapporto tra la lunghezza dell'arco sotteso dall'angolo e il raggio della circonferenza, ovvero \(\theta = L/r\). Un angolo completo, o angolo giro, corrisponde a 2π radianti. La velocità angolare \(\omega\) misura la rapidità con cui il vettore raggio ruota, ed è espressa in radianti al secondo (rad/s). Nel moto circolare uniforme, \(\omega\) è costante e si calcola come \(\omega = 2\pi/T\) o \(\omega = 2\pi f\), legando così la velocità angolare al periodo e alla frequenza del moto.

L'Accelerazione Centripeta nel Moto Circolare Uniforme

In un moto circolare uniforme, l'accelerazione vettoriale, detta accelerazione centripeta \(\vec{a_c}\), è sempre diretta verso il centro della circonferenza e ha un modulo che dipende dalla velocità lineare v e dal raggio r della traiettoria circolare, secondo la relazione \(a_c = v^2/r\). Alternativamente, considerando la velocità angolare \(\omega\), l'accelerazione centripeta può essere espressa come \(a_c = \omega^2 r\). Poiché la velocità lineare e la velocità angolare sono costanti nel moto circolare uniforme, anche l'accelerazione centripeta è costante in modulo, direzione e verso.

Il Moto Armonico come Proiezione del Moto Circolare Uniforme

Il moto armonico semplice è un tipo di moto periodico che può essere descritto come la proiezione su un diametro della traiettoria circolare di un punto che si muove con moto circolare uniforme. La velocità vettoriale istantanea \(\vec{v}\) di un corpo in moto armonico varia in modulo e verso durante l'oscillazione, ma rimane sempre parallela al diametro su cui avviene la proiezione. La velocità massima \(v_{max}\) si verifica quando il corpo attraversa la posizione di equilibrio e vale \(v_{max} = \omega r\), dove \(\omega\) è la pulsazione e r è l'ampiezza dell'oscillazione. L'accelerazione \(\vec{a}\) nel moto armonico varia anch'essa, essendo massima agli estremi dell'oscillazione e nulla nella posizione di equilibrio. Questa variazione è descritta dalla relazione \(a = -\omega^2 x\), che lega l'accelerazione alla posizione x del corpo lungo il diametro e alla pulsazione \(\omega\).