Analisi della risposta in frequenza dei sistemi dinamici

Analisi della Risposta in Frequenza di Sistemi con Uno Zero

L'analisi della risposta in frequenza è cruciale per comprendere il comportamento dei sistemi dinamici quando sono soggetti a ingressi sinusoidali di varie frequenze. Un esempio specifico è rappresentato dai sistemi che includono uno zero nella loro funzione di trasferimento, la quale può essere espressa nella forma G(jω) = 1 + jωτ, dove j è l'unità immaginaria, ω la pulsazione e τ una costante di tempo. A basse frequenze, il termine jωτ è minore rispetto all'unità e la funzione di trasferimento tende a 1, comportandosi come un guadagno unitario. Al crescere della frequenza, il termine jωτ diventa predominante e la funzione si comporta come un integratore, con una pendenza di +20 dB/decade nel diagramma del modulo. La pulsazione di taglio ωz = 1/τ rappresenta lo zero della funzione di trasferimento e segna il punto in cui la pendenza del diagramma del modulo cambia. La fase inizia a 0° per basse frequenze, diminuisce con una pendenza di -45°/decade intorno alla pulsazione di taglio e si stabilizza a -90° per frequenze molto superiori a ωz. Questi diagrammi di Bode sono strumenti fondamentali per la progettazione e l'analisi di sistemi di controllo e filtri elettronici.

Caratteristiche dei Sistemi con Poli Complessi Coniugati

I sistemi caratterizzati da poli complessi coniugati mostrano una risposta in frequenza che è fortemente influenzata dal coefficiente di smorzamento ζ. Con un coefficiente di smorzamento vicino a 1, i diagrammi di Bode del modulo e della fase si avvicinano a quelli di un sistema con due poli reali e coincidenti. In questo caso, il diagramma del modulo mostra una transizione netta da una pendenza di 0 dB/decade a -40 dB/decade, mentre la fase varia gradualmente da 0° a -180°, passando per -90° alla pulsazione naturale ωn. Per valori di smorzamento minori, si manifesta un picco di risonanza nel diagramma del modulo, la cui altezza e posizione dipendono dal valore di ζ. La pulsazione di risonanza si avvicina a ωn all'aumentare del picco di risonanza, che diventa più marcato con la diminuzione di ζ. Questi effetti devono essere attentamente considerati nella progettazione di sistemi di controllo e dispositivi di filtraggio, poiché possono influenzare significativamente la stabilità e la performance del sistema.

Composizione dei Diagrammi di Bode

Per costruire i diagrammi di Bode di un sistema complesso, è possibile scomporre la funzione di trasferimento totale in blocchi elementari e sommare i contributi di ciascun blocco. Nel caso del modulo, si sommano i valori dei logaritmi dei moduli dei singoli blocchi, mentre per la fase si sommano gli angoli. Questo metodo consente di tracciare i diagrammi in modo semplificato e intuitivo. Ad esempio, per un sistema che comprende un guadagno proporzionale, uno zero e due poli, si rappresentano separatamente i diagrammi dei moduli e delle fasi dei singoli blocchi e poi si sommano per ottenere il diagramma complessivo. La pendenza totale in ogni punto del diagramma del modulo è la somma delle pendenze dei singoli blocchi. Questo approccio facilita la visualizzazione dell'effetto combinato dei componenti sul sistema e supporta l'analisi e la progettazione di sistemi di controllo complessi.

Determinazione del Coefficiente di Smorzamento e del Picco di Risonanza

Il coefficiente di smorzamento ζ e il picco di risonanza sono parametri fondamentali nella caratterizzazione della risposta in frequenza di sistemi con poli complessi coniugati. Per determinare il valore di ζ che corrisponde a una specifica pulsazione di risonanza ωr, si utilizza la relazione ωr = ωn * √(1 - 2ζ^2), dove ωn è la pulsazione naturale del sistema. Il picco di risonanza Gr può essere calcolato come 1/(2ζ * √(1 - ζ^2)). Queste formule sono cruciali nella progettazione di sistemi che devono rispettare requisiti specifici di risposta in frequenza, come l'attenuazione di vibrazioni o la reattività a variazioni di segnale. La corretta determinazione di questi parametri è essenziale per garantire che il sistema funzioni come desiderato nelle condizioni operative previste.