Analisi della risposta in frequenza dei sistemi dinamici

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L'analisi della risposta in frequenza di sistemi con uno zero e poli complessi coniugati rivela come variazioni di frequenza e smorzamento influenzino la stabilità e le prestazioni. Diagrammi di Bode e parametri come il picco di risonanza e il coefficiente di smorzamento sono essenziali per la progettazione di sistemi di controllo e filtri elettronici, garantendo funzionalità ottimali in diverse condizioni operative.

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Definizione di funzione di trasferimento G(jω)

Rappresentazione matematica del rapporto tra uscita e ingresso di un sistema nel dominio della frequenza.

Significato di jωτ a basse frequenze

A basse frequenze, jωτ è piccolo rispetto a 1, quindi G(jω) ≈ 1 e il sistema si comporta come se avesse guadagno unitario.

Comportamento di G(jω) ad alte frequenze

Ad alte frequenze, jωτ domina e G(jω) si comporta come un integratore, con una pendenza di +20 dB/decade.

Q&A

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Significato di jωτ a basse frequenze

A basse frequenze, jωτ è piccolo rispetto a 1, quindi G(jω) ≈ 1 e il sistema si comporta come se avesse guadagno unitario.

Comportamento di G(jω) ad alte frequenze

Ad alte frequenze, jωτ domina e G(jω) si comporta come un integratore, con una pendenza di +20 dB/decade.

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Analisi della Risposta in Frequenza di Sistemi con Uno Zero

L'analisi della risposta in frequenza è cruciale per comprendere il comportamento dei sistemi dinamici quando sono soggetti a ingressi sinusoidali di varie frequenze. Un esempio specifico è rappresentato dai sistemi che includono uno zero nella loro funzione di trasferimento, la quale può essere espressa nella forma G(jω) = 1 + jωτ, dove j è l'unità immaginaria, ω la pulsazione e τ una costante di tempo. A basse frequenze, il termine jωτ è minore rispetto all'unità e la funzione di trasferimento tende a 1, comportandosi come un guadagno unitario. Al crescere della frequenza, il termine jωτ diventa predominante e la funzione si comporta come un integratore, con una pendenza di +20 dB/decade nel diagramma del modulo. La pulsazione di taglio ωz = 1/τ rappresenta lo zero della funzione di trasferimento e segna il punto in cui la pendenza del diagramma del modulo cambia. La fase inizia a 0° per basse frequenze, diminuisce con una pendenza di -45°/decade intorno alla pulsazione di taglio e si stabilizza a -90° per frequenze molto superiori a ωz. Questi diagrammi di Bode sono strumenti fondamentali per la progettazione e l'analisi di sistemi di controllo e filtri elettronici.

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Caratteristiche dei Sistemi con Poli Complessi Coniugati

I sistemi caratterizzati da poli complessi coniugati mostrano una risposta in frequenza che è fortemente influenzata dal coefficiente di smorzamento ζ. Con un coefficiente di smorzamento vicino a 1, i diagrammi di Bode del modulo e della fase si avvicinano a quelli di un sistema con due poli reali e coincidenti. In questo caso, il diagramma del modulo mostra una transizione netta da una pendenza di 0 dB/decade a -40 dB/decade, mentre la fase varia gradualmente da 0° a -180°, passando per -90° alla pulsazione naturale ωn. Per valori di smorzamento minori, si manifesta un picco di risonanza nel diagramma del modulo, la cui altezza e posizione dipendono dal valore di ζ. La pulsazione di risonanza si avvicina a ωn all'aumentare del picco di risonanza, che diventa più marcato con la diminuzione di ζ. Questi effetti devono essere attentamente considerati nella progettazione di sistemi di controllo e dispositivi di filtraggio, poiché possono influenzare significativamente la stabilità e la performance del sistema.

Composizione dei Diagrammi di Bode

Per costruire i diagrammi di Bode di un sistema complesso, è possibile scomporre la funzione di trasferimento totale in blocchi elementari e sommare i contributi di ciascun blocco. Nel caso del modulo, si sommano i valori dei logaritmi dei moduli dei singoli blocchi, mentre per la fase si sommano gli angoli. Questo metodo consente di tracciare i diagrammi in modo semplificato e intuitivo. Ad esempio, per un sistema che comprende un guadagno proporzionale, uno zero e due poli, si rappresentano separatamente i diagrammi dei moduli e delle fasi dei singoli blocchi e poi si sommano per ottenere il diagramma complessivo. La pendenza totale in ogni punto del diagramma del modulo è la somma delle pendenze dei singoli blocchi. Questo approccio facilita la visualizzazione dell'effetto combinato dei componenti sul sistema e supporta l'analisi e la progettazione di sistemi di controllo complessi.

Determinazione del Coefficiente di Smorzamento e del Picco di Risonanza

Il coefficiente di smorzamento ζ e il picco di risonanza sono parametri fondamentali nella caratterizzazione della risposta in frequenza di sistemi con poli complessi coniugati. Per determinare il valore di ζ che corrisponde a una specifica pulsazione di risonanza ωr, si utilizza la relazione ωr = ωn * √(1 - 2ζ^2), dove ωn è la pulsazione naturale del sistema. Il picco di risonanza Gr può essere calcolato come 1/(2ζ * √(1 - ζ^2)). Queste formule sono cruciali nella progettazione di sistemi che devono rispettare requisiti specifici di risposta in frequenza, come l'attenuazione di vibrazioni o la reattività a variazioni di segnale. La corretta determinazione di questi parametri è essenziale per garantire che il sistema funzioni come desiderato nelle condizioni operative previste.

Analisi della risposta in frequenza dei sistemi dinamici

Concept Map

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Analisi della risposta in frequenza dei sistemi dinamici

Comportamento dei sistemi dinamici

Ingressi sinusoidali di varie frequenze

Funzione di trasferimento

Diagrammi di Bode

Sistemi con uno zero nella funzione di trasferimento

Pendenza di +20 dB/decade

Fase

Sistemi con poli complessi coniugati

Coefficiente di smorzamento ζ

Picco di risonanza

Formule per il calcolo di ζ e del picco di risonanza

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Come influisce uno zero nella funzione di trasferimento sul comportamento in frequenza di un sistema dinamico?

Qual è l'effetto del coefficiente di smorzamento sui sistemi con poli complessi coniugati?

Come si costruiscono i diagrammi di Bode per un sistema complesso?

Come si calcolano il coefficiente di smorzamento e il picco di risonanza in sistemi con poli complessi coniugati?

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