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Algor Lab S.r.l. - Startup Innovativa - P.IVA IT12537010014

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Equazioni quadratiche e loro risoluzione

Le equazioni quadratiche sono polinomi di secondo grado che si presentano nella forma ax^2 + bx + c = 0. Esse hanno soluzioni che possono essere reali e distinte, reali e coincidenti, o complesse coniugate, a seconda del discriminante. La loro risoluzione è cruciale in matematica per applicazioni numeriche e geometriche, e la fattorizzazione di trinomi è possibile quando il discriminante è non negativo.

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1

Forma generale equazione quadratica

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ax^2 + bx + c = 0, con a, b, c reali e a ≠ 0.

2

Coefficiente direttivo

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Il coefficiente 'a' in ax^2, determina la concavità della parabola.

3

Classificazione equazioni incomplete

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Monomie (ax^2 = 0), pure (ax^2 + c = 0), spurie (ax^2 + bx = 0).

4

Il ______ di un'equazione quadratica è calcolato con la formula b^2 - 4ac.

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discriminante

5

Un discriminante uguale a zero indica una ______ reale e ______ per l'equazione quadratica.

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soluzione doppia

6

Con un discriminante negativo, le radici dell'equazione quadratica sono ______ coniugate.

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complesse

7

La formula ______ = (-b ± √Δ) / (2a) è usata per trovare le radici di qualsiasi equazione quadratica.

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risolutiva

8

Equazioni monomie - Soluzione

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x = 0

9

Equazioni pure - Condizioni e soluzioni

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Se a e c segni opposti: x = ±√(-c/a), se stesso segno: nessuna soluzione reale

10

Per trasformare un'equazione quadratica si usa la forma (x + p)^2 = q, che aiuta a ______ l'equazione.

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risolvere

11

Se il coefficiente a non è 1, si deve dividere per a prima di aggiungere e sottrarre (b/2a)^2 per ottenere un ______ perfetto.

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quadrato

12

Quando b è ______, si può applicare una formula più semplice per trovare le soluzioni dell'equazione.

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pari

13

La formula semplificata per risolvere l'equazione è x = -b/2a ± √(Δ) / (2a), che ______ i passaggi del calcolo.

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riduce

14

Somma delle soluzioni di un'equazione quadratica

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La somma delle soluzioni x1 e x2 è data da -b/a.

15

Prodotto delle soluzioni di un'equazione quadratica

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Il prodotto delle soluzioni x1 e x2 è dato da c/a.

16

Un trinomio di secondo grado può essere decomposto se il ______ è non negativo.

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discriminante

17

La scomposizione di un trinomio di secondo grado è rappresentata come a(x - ______)(x - ______), dove ______ e ______ sono le soluzioni dell'equazione.

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x1 x2 x1 x2

18

Le equazioni quadratiche sono utili per trovare due numeri data la loro ______ e ______.

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somma prodotto

19

Le equazioni quadratiche trovano applicazione nel calcolo delle dimensioni di figure ______ e ______.

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piane solide

Q&A

Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento

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Definizione e classificazione delle equazioni quadratiche

Un'equazione quadratica, o di secondo grado, è un'equazione polinomiale in cui il termine di grado più alto ha esponente due, e si presenta nella forma generale ax^2 + bx + c = 0, con a, b e c coefficienti reali e a ≠ 0. Il coefficiente a è detto coefficiente direttivo, b è il coefficiente lineare, e c è il termine noto. Le equazioni quadratiche si classificano in complete, quando tutti e tre i coefficienti sono diversi da zero, e incomplete, quando uno o più coefficienti, escluso a, sono nulli. Le equazioni incomplete si suddividono ulteriormente in: monomie (ax^2 = 0), pure (ax^2 + c = 0, con b = 0) e spurie (ax^2 + bx = 0, con c = 0).
Mela rossa lucida, compasso metallico e pallone da basket arancione su lavagna verde scuro senza scritte.

Soluzioni delle equazioni quadratiche

Le soluzioni di un'equazione quadratica, o radici, possono essere reali e distinte, reali e coincidenti, o complesse coniugate. Il discriminante Δ, calcolato come b^2 - 4ac, determina la natura delle soluzioni: se Δ > 0, ci sono due soluzioni reali distinte; se Δ = 0, c'è una soluzione reale doppia; se Δ < 0, le soluzioni sono complesse coniugate e non reali. La formula risolutiva, x = (-b ± √Δ) / (2a), permette di trovare le soluzioni per qualsiasi equazione quadratica, sia completa che incompleta.

Risoluzione delle equazioni quadratiche incomplete

Le equazioni quadratiche incomplete si risolvono con metodi semplificati. Nelle equazioni monomie, la soluzione è immediata: x = 0. Per le equazioni spurie, si può fattorizzare il termine x, ottenendo x(ax + b) = 0, che porta alle soluzioni x = 0 e x = -b/a. Le equazioni pure, ax^2 + c = 0, hanno soluzioni reali e opposte, x = ±√(-c/a), se a e c hanno segni opposti, e non hanno soluzioni reali se a e c hanno lo stesso segno.

Il completamento del quadrato e la formula risolutiva semplificata

Il completamento del quadrato è un metodo algebrico che trasforma un'equazione quadratica nella forma (x + p)^2 = q, facilitando la risoluzione. Questo processo include la divisione per a se non è unitario, l'aggiunta e la sottrazione di (b/2a)^2 per formare un quadrato perfetto, e la risoluzione dell'equazione risultante. Se b è pari, si può utilizzare una formula semplificata, x = -b/2a ± √(Δ) / (2a), che riduce i calcoli necessari per trovare le soluzioni.

Relazioni tra le soluzioni e i coefficienti

Le soluzioni di un'equazione quadratica sono legate ai suoi coefficienti attraverso relazioni fondamentali. Se x1 e x2 sono le soluzioni dell'equazione ax^2 + bx + c = 0, allora la somma delle soluzioni è -b/a e il loro prodotto è c/a. Queste relazioni, note come identità di Viète, sono valide per ogni equazione quadratica, indipendentemente dalla natura delle soluzioni, e sono utili per la fattorizzazione dei polinomi e per la risoluzione di problemi algebrici.

Fattorizzazione di trinomi e applicazioni delle equazioni quadratiche

Un trinomio di secondo grado ax^2 + bx + c può essere scomposto in fattori lineari se il discriminante è non negativo. La scomposizione è espressa come a(x - x1)(x - x2), dove x1 e x2 sono le soluzioni dell'equazione. Se il discriminante è negativo, il trinomio è irriducibile sui reali. Le equazioni quadratiche sono strumenti potenti in vari ambiti, dalla risoluzione di problemi numerici, come trovare due numeri conoscendo la loro somma e prodotto, fino ad applicazioni geometriche, come il calcolo delle dimensioni di figure piane e solide.