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La dipendenza lineare e i sistemi di vettori sono pilastri della matematica moderna, essenziali per analizzare spazi vettoriali e risolvere equazioni lineari. Questi concetti permettono di definire la dimensione di uno spazio vettoriale e di comprendere la struttura dei sottospazi vettoriali, influenzando la rappresentazione di entità geometriche come linee e piani.
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Un insieme di vettori che descrivono le relazioni tra i vettori di uno spazio vettoriale
Dipendenza lineare
Un vettore è dipendente linearmente da un sistema se può essere espresso come combinazione lineare dei vettori di questo sistema
Indipendenza lineare
Un vettore è linearmente indipendente da un sistema se non può essere espresso come combinazione lineare degli altri vettori di questo sistema
La dipendenza lineare è fondamentale per determinare la dimensione di uno spazio vettoriale e per comprendere la struttura dei sottospazi vettoriali
In uno spazio vettoriale unidimensionale ogni vettore è dipendente linearmente da qualsiasi altro vettore non nullo
La dipendenza lineare è fondamentale per rappresentare e comprendere strutture algebriche complesse come matrici e matrici elementari
Il sottospazio generato da un sistema di vettori è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di questi vettori
I sottospazi generati sono essenziali per l'analisi di spazi vettoriali più grandi e per la soluzione di sistemi di equazioni lineari
La dipendenza lineare dei vettori di un sottospazio è strettamente legata alla sua struttura
Se un vettore è una combinazione lineare degli altri vettori di un sottospazio, allora non aggiunge alcuna "dimensione" a questo sottospazio
I generatori di un sottospazio sono i vettori di un sistema che lo generano
Un sottospazio è finitamente generato se esiste un insieme finito di vettori che lo genera
I generatori minimali sono il più piccolo insieme di vettori che generano un sottospazio senza vettori superflui
00
Definizione di spazio vettoriale
Insieme di vettori con operazioni di somma e moltiplicazione per scalare che soddisfano certe proprietà.
01
Vettore linearmente indipendente
Vettore che non può essere espresso come combinazione lineare di altri vettori del sistema.
02
Dimensione di uno spazio vettoriale
Numero massimo di vettori linearmente indipendenti in quello spazio.
