La Geometria Euclidea e Sferica

Fondamenti della Geometria Euclidea e l'Assioma di Playfair

La geometria euclidea, così chiamata in onore del matematico greco Euclide, si fonda su cinque postulati essenziali delineati nella sua opera "Gli Elementi", scritta intorno al 300 a.C. Questi postulati, accettati come verità di base, sono il punto di partenza per la costruzione di figure geometriche utilizzando solo riga e compasso. Il quinto postulato, noto come il postulato delle parallele, afferma che per un dato punto esterno a una retta, è possibile tracciare una sola retta parallela alla retta data. Questo postulato è stato oggetto di dibattito per secoli, poiché sembrava meno ovvio degli altri. Nel XVIII secolo, il matematico scozzese John Playfair formulò un'alternativa equivalente, nota come Assioma di Playfair, che afferma che in un piano, per un dato punto esterno a una retta, passa una e una sola retta parallela alla retta data. Questa formulazione è diventata comunemente accettata nella geometria euclidea.

La Geometria Sferica nell'Antichità Greca

La geometria sferica, sviluppata dagli antichi Greci, si occupa dello studio delle figure sulla superficie di una sfera. Questo ramo della geometria era fondamentale per comprendere fenomeni astronomici e geografici, come la curvatura dell'ombra terrestre durante le eclissi lunari e la variazione della visibilità delle costellazioni a seconda della latitudine. Menelao di Alessandria, con la sua opera "Sphaerica", fu uno dei primi a sistematizzare la geometria sferica, evidenziando differenze sostanziali rispetto alla geometria euclidea, come l'assenza di parallele e il fatto che su una sfera più "rette" (in realtà, grandi cerchi) possono passare per due punti.

Il Dubbio sul Quinto Postulato e l'Emergere delle Geometrie Non Euclidee

Il quinto postulato euclideo ha suscitato dubbi fin dalla sua formulazione, poiché non sembrava altrettanto intuitivo come gli altri postulati. Nel corso dei secoli, molti matematici hanno cercato di dimostrarlo come conseguenza degli altri postulati, senza successo. Tra questi, Girolamo Saccheri e Johann Heinrich Lambert hanno fornito contributi notevoli. Saccheri, nel suo lavoro "Euclides ab omni naevo vindicatus" (Euclide liberato da ogni difetto), ha esplorato le conseguenze di negare il quinto postulato, arrivando vicino a scoprire la geometria iperbolica. Lambert, nel suo "Theorie der Parallellinien", ha speculato sull'esistenza di una geometria su superfici con curvatura negativa, gettando le basi per la futura scoperta della geometria iperbolica.

La Rivoluzione Scientifica e l'Analisi delle Curve Non Euclidee

La rivoluzione scientifica ha portato a un interesse crescente per lo studio delle curve non riconducibili a costruzioni con riga e compasso, come le coniche e le orbite planetarie ellittiche descritte da Keplero. Matematici come Cartesio e Newton hanno iniziato a studiare queste curve dal punto di vista analitico. In particolare, la pseudo sfera, una superficie con curvatura costante negativa generata dalla rotazione di una trattrice, ha sollevato questioni sulla validità universale della geometria euclidea. Queste ricerche hanno contribuito allo sviluppo delle geometrie non euclidee, che hanno rivoluzionato la comprensione dello spazio e della forma dell'universo, aprendo la strada a nuovi modelli matematici e fisici.