La Geometria Euclidea e Sferica
Mappa concettuale
La geometria euclidea si basa sui postulati di Euclide, tra cui il dibattuto quinto postulato sulle parallele, riformulato da Playfair. L'antica geometria sferica greca, le ricerche sulle curve non euclidee e la scoperta delle geometrie iperboliche hanno ampliato la nostra comprensione dello spazio.
Riassunto
Schema
Fondamenti della Geometria Euclidea e l'Assioma di Playfair
La geometria euclidea, così chiamata in onore del matematico greco Euclide, si fonda su cinque postulati essenziali delineati nella sua opera "Gli Elementi", scritta intorno al 300 a.C. Questi postulati, accettati come verità di base, sono il punto di partenza per la costruzione di figure geometriche utilizzando solo riga e compasso. Il quinto postulato, noto come il postulato delle parallele, afferma che per un dato punto esterno a una retta, è possibile tracciare una sola retta parallela alla retta data. Questo postulato è stato oggetto di dibattito per secoli, poiché sembrava meno ovvio degli altri. Nel XVIII secolo, il matematico scozzese John Playfair formulò un'alternativa equivalente, nota come Assioma di Playfair, che afferma che in un piano, per un dato punto esterno a una retta, passa una e una sola retta parallela alla retta data. Questa formulazione è diventata comunemente accettata nella geometria euclidea.La Geometria Sferica nell'Antichità Greca
La geometria sferica, sviluppata dagli antichi Greci, si occupa dello studio delle figure sulla superficie di una sfera. Questo ramo della geometria era fondamentale per comprendere fenomeni astronomici e geografici, come la curvatura dell'ombra terrestre durante le eclissi lunari e la variazione della visibilità delle costellazioni a seconda della latitudine. Menelao di Alessandria, con la sua opera "Sphaerica", fu uno dei primi a sistematizzare la geometria sferica, evidenziando differenze sostanziali rispetto alla geometria euclidea, come l'assenza di parallele e il fatto che su una sfera più "rette" (in realtà, grandi cerchi) possono passare per due punti.Il Dubbio sul Quinto Postulato e l'Emergere delle Geometrie Non Euclidee
Il quinto postulato euclideo ha suscitato dubbi fin dalla sua formulazione, poiché non sembrava altrettanto intuitivo come gli altri postulati. Nel corso dei secoli, molti matematici hanno cercato di dimostrarlo come conseguenza degli altri postulati, senza successo. Tra questi, Girolamo Saccheri e Johann Heinrich Lambert hanno fornito contributi notevoli. Saccheri, nel suo lavoro "Euclides ab omni naevo vindicatus" (Euclide liberato da ogni difetto), ha esplorato le conseguenze di negare il quinto postulato, arrivando vicino a scoprire la geometria iperbolica. Lambert, nel suo "Theorie der Parallellinien", ha speculato sull'esistenza di una geometria su superfici con curvatura negativa, gettando le basi per la futura scoperta della geometria iperbolica.La Rivoluzione Scientifica e l'Analisi delle Curve Non Euclidee
La rivoluzione scientifica ha portato a un interesse crescente per lo studio delle curve non riconducibili a costruzioni con riga e compasso, come le coniche e le orbite planetarie ellittiche descritte da Keplero. Matematici come Cartesio e Newton hanno iniziato a studiare queste curve dal punto di vista analitico. In particolare, la pseudo sfera, una superficie con curvatura costante negativa generata dalla rotazione di una trattrice, ha sollevato questioni sulla validità universale della geometria euclidea. Queste ricerche hanno contribuito allo sviluppo delle geometrie non euclidee, che hanno rivoluzionato la comprensione dello spazio e della forma dell'universo, aprendo la strada a nuovi modelli matematici e fisici.
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Geometria Euclidea
Cinque postulati di Euclide
I cinque postulati di Euclide sono i principi fondamentali della geometria euclidea, utilizzati per costruire figure geometriche con riga e compasso
Il quinto postulato
Postulato delle parallele
Il quinto postulato di Euclide, noto come postulato delle parallele, afferma che da un punto esterno a una retta si può tracciare una sola retta parallela alla retta data
Assioma di Playfair
L'Assioma di Playfair, formulato da John Playfair nel XVIII secolo, è un'alternativa equivalente al quinto postulato di Euclide e afferma che da un punto esterno a una retta passa una sola retta parallela alla retta data
Dubbi sul quinto postulato
Il quinto postulato di Euclide ha suscitato dubbi e dibattiti tra i matematici per secoli, portando alla scoperta di nuove geometrie come quella iperbolica
Geometria Sferica
Studio delle figure sulla superficie di una sfera
La geometria sferica, sviluppata dagli antichi Greci, si occupa dello studio delle figure sulla superficie di una sfera e ha avuto un ruolo fondamentale nella comprensione di fenomeni astronomici e geografici
Differenze con la geometria euclidea
Assenza di parallele
A differenza della geometria euclidea, sulla superficie di una sfera non esistono parallele
Più "rette" che passano per due punti
Su una sfera, più "rette" (in realtà grandi cerchi) possono passare per due punti, a differenza della geometria euclidea
Contributi di Menelao di Alessandria
Menelao di Alessandria, con la sua opera "Sphaerica", fu uno dei primi a sistematizzare la geometria sferica e a evidenziare le sue differenze rispetto alla geometria euclidea
Dubbi sul quinto postulato
Tentativi di dimostrare il quinto postulato
Nel corso dei secoli, molti matematici hanno cercato di dimostrare il quinto postulato di Euclide come conseguenza degli altri, senza successo
Contributi di Girolamo Saccheri e Johann Heinrich Lambert
"Euclides ab omni naevo vindicatus" di Saccheri
Girolamo Saccheri, nel suo lavoro "Euclides ab omni naevo vindicatus", ha esplorato le conseguenze di negare il quinto postulato di Euclide, arrivando vicino alla scoperta della geometria iperbolica
"Theorie der Parallellinien" di Lambert
Johann Heinrich Lambert, nel suo lavoro "Theorie der Parallellinien", ha speculato sull'esistenza di una geometria su superfici con curvatura negativa, gettando le basi per la futura scoperta della geometria iperbolica
Sviluppi successivi
Interesse per le curve non costruibili con riga e compasso
La rivoluzione scientifica ha portato a un interesse crescente per lo studio delle curve non riconducibili a costruzioni con riga e compasso, come le coniche e le orbite planetarie ellittiche
Approccio analitico di Cartesio e Newton
Matematici come Cartesio e Newton hanno iniziato a studiare le curve non euclidee dal punto di vista analitico
Pseudo sfera e geometrie non euclidee
La scoperta della pseudo sfera, una superficie con curvatura costante negativa, ha sollevato questioni sulla validità universale della geometria euclidea e ha portato allo sviluppo delle geometrie non euclidee
La Geometria Euclidea e Sferica
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00
Fondatore della geometria euclidea
Euclide, matematico greco, autore de 'Gli Elementi'.
01
Numero di postulati in 'Gli Elementi'
Cinque postulati, base per costruire figure con riga e compasso.
02
Strumenti permessi nella costruzione geometrica euclidea
Solo riga e compasso, nessun altro strumento di misurazione.
