Mapa conceptual y resúmen LOS NÚMEROS REALES
Mapa conceptual
Los números reales, su clasificación y las ecuaciones de primer y segundo grado son fundamentales en matemáticas. Se exploran las inecuaciones y su resolución gráfica, abarcando desde inecuaciones lineales hasta racionales, todas con aplicaciones prácticas en diversos campos.
Resumen
Esquema
La Naturaleza y Clasificación de los Números Reales
Los números reales, denotados por el símbolo ℝ, comprenden un conjunto infinito que incluye tanto los números racionales (fracciones de enteros) como los irracionales (aquellos que no pueden expresarse como fracción de enteros). En la recta numérica, los números reales se distribuyen de manera continua y ordenada, lo que refleja su propiedad de densidad, es decir, entre cualquier par de números reales siempre hay otro número real. Los números reales se pueden representar mediante expansiones decimales, que pueden ser finitas, como en el caso de los racionales, o infinitas no periódicas, como en el caso de los irracionales. Este conjunto es fundamental para describir y medir magnitudes continuas en diversas áreas de la ciencia y la tecnología. Los subconjuntos de los números reales incluyen los números naturales (ℕ), que son los enteros positivos utilizados para contar; los enteros (ℤ), que añaden a los naturales sus opuestos negativos y el cero; los racionales (ℚ), que permiten expresar proporciones y fracciones; y los irracionales, que incluyen números como √2 y π, que no pueden ser expresados como cocientes de enteros.Ecuaciones Lineales y Sistemas de Ecuaciones
Las ecuaciones lineales, también conocidas como ecuaciones de primer grado, son aquellas en las que la variable aparece elevada únicamente a la potencia de uno. Se formulan comúnmente como ax + b = c, donde a es un coeficiente distinto de cero. Estas ecuaciones son esenciales en matemáticas para resolver problemas que implican encontrar el valor de una variable. Por otro lado, los sistemas de ecuaciones lineales consisten en dos o más ecuaciones que comparten variables comunes. Resolver estos sistemas es clave para encontrar soluciones que satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones involucradas, lo que es de gran importancia en campos como la economía, la ingeniería y las ciencias sociales.Ecuaciones Cuadráticas y su Resolución
Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones polinómicas de segundo grado, caracterizadas por tener la variable al cuadrado (x^2). La forma general de una ecuación cuadrática es ax^2 + bx + c = 0, con a ≠ 0. Estas ecuaciones pueden ser completas, cuando todos los coeficientes son distintos de cero, o incompletas, si uno o más coeficientes son cero. Las ecuaciones cuadráticas son fundamentales en diversas áreas de la matemática y la física, ya que modelan situaciones que involucran áreas, volúmenes y trayectorias parabólicas. Para resolverlas, se pueden utilizar métodos como la factorización, la aplicación de la fórmula cuadrática o el método de completar el cuadrado. Además, es importante considerar las posibles soluciones reales o complejas que pueden surgir, dependiendo del discriminante (b^2 - 4ac).Inecuaciones y su Clasificación
Las inecuaciones son desigualdades que involucran expresiones algebraicas y se representan mediante signos como >,
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1. CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS REALES
INFINITUD
LOS NÚMEROS REALES SON INFINITOS Y NO TIENEN UN FINAL DEFINIDO
ORDEN
LOS NÚMEROS REALES SE ORDENAN EN LA RECTA REAL SEGÚN SU POSICIÓN, SIENDO LOS MAYORES LOS QUE SE ENCUENTRAN MÁS A LA DERECHA Y LOS MENORES LOS QUE SE ENCUENTRAN MÁS A LA IZQUIERDA
INTEGRAL
LOS NÚMEROS REALES NO TIENEN ESPACIOS VACÍOS Y CADA CONJUNTO TIENE UN LÍMITE SUPERIOR Y UN LÍMITE INFERIOR
EXPANSIÓN DECIMAL
CADA NÚMERO REAL PUEDE SER EXPRESADO COMO UN DECIMAL, YA SEA FINITO O INFINITO, Y LOS NÚMEROS IRRACIONALES TIENEN CIFRAS DECIMALES INTERMINABLES E IRREPETIBLES
2. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
NÚMEROS NATURALES
LOS NÚMEROS NATURALES SON AQUELLOS QUE SE UTILIZAN PARA CONTAR OBJETOS Y SE REPRESENTAN CON LOS DÍGITOS DEL 0 AL 9
NÚMEROS ENTEROS
LOS NÚMEROS ENTEROS INCLUYEN A LOS NÚMEROS NATURALES Y SUS SIMÉTRICOS, Y SE UTILIZAN PARA REPRESENTAR CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS
NÚMEROS RACIONALES
LOS NÚMEROS RACIONALES SURGEN DE LA NECESIDAD DE MEDIR CANTIDADES NO ENTERAS Y SE REPRESENTAN CON FRACCIONES
NÚMEROS IRRACIONALES
LOS NÚMEROS IRRACIONALES SON AQUELLOS QUE NO PUEDEN EXPRESARSE COMO LA DIVISIÓN DE ENTEROS Y SE REPRESENTAN CON LA LETRA I
3. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
DEFINICIÓN
LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO SON IGUALDADES ALGEBRAICAS CON UNA INCÓGNITA Y UNA POTENCIA EQUIVALENTE A UNO
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA TIENEN LA FORMA AX + B = C, DONDE A NO PUEDE SER CERO
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS TIENEN LA FORMA MX + B = Y Y TAMBIÉN SE CONOCEN COMO ECUACIONES SIMULTÁNEAS
4. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
DEFINICIÓN
LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO SON AQUELLAS QUE TIENEN TÉRMINOS DESCONOCIDOS ELEVADOS AL CUADRADO
ECUACIONES CUADRÁTICAS
LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS TIENEN LA FORMA AX2 + BX + C = 0 Y SE CLASIFICAN COMO COMPLETAS O INCOMPLETAS DEPENDIENDO DE SI TODOS SUS COEFICIENTES SON DISTINTOS DE CERO
5. INECUACIONES
DEFINICIÓN
LAS INECUACIONES SON DESIGUALDADES ENTRE DOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS CONECTADAS POR LOS SIGNOS MAYOR QUE, MENOR QUE, MENOR O IGUAL QUE O MAYOR O IGUAL QUE
CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES
LAS INECUACIONES SE CLASIFICAN SEGÚN EL NÚMERO DE INCÓGNITAS Y EL GRADO DE ELLAS, PUDIENDO SER DE PRIMER, SEGUNDO, TERCER O CUARTO GRADO
6. ECUACIONES LINEALES
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES ES ANÁLOGA A RESOLVER ECUACIONES, PERO EL SIGNO DE LA DESIGUALDAD CAMBIA AL MULTIPLICAR O DIVIDIR NÚMEROS NEGATIVOS
TIPOS DE ECUACIONES LINEALES
ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE
LAS ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE TIENEN LA FORMA AX + B = C, DONDE A, B Y C SON CONSTANTES Y X ES LA VARIABLE
ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
LAS ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES TIENEN LA FORMA AX + BY = C, DONDE A, B Y C SON CONSTANTES Y X E Y SON LAS VARIABLES
INECUACIONES LINEALES
LAS INECUACIONES LINEALES SON DESIGUALDADES QUE INVOLUCRAN VARIABLES Y CONSTANTES, Y PUEDEN TENER UNA O MÁS SOLUCIONES
7. ECUACIONES CUADRÁTICAS
DEFINICIÓN DE ECUACIÓN CUADRÁTICA
UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA ES UNA DESIGUALDAD DONDE LA VARIABLE TIENE EXPONENTE 2 Y PUEDE TENER UNA DE LAS FORMAS SIGUIENTES: AX^2 + BX + C ≥ 0, AX^2 + BX + C ≤ 0, AX^2 + BX + C > 0 Ó AX^2 + BX + C ; 0
EJEMPLOS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
ECUACIÓN CUADRÁTICA CON UNA VARIABLE
UN EJEMPLO DE ECUACIÓN CUADRÁTICA CON UNA VARIABLE ES X^2 + 2X < 15
ECUACIÓN CUADRÁTICA CON DOS VARIABLES
UN EJEMPLO DE ECUACIÓN CUADRÁTICA CON DOS VARIABLES ES 4X^2 ≥ 12X - 9
TRANSFORMACIONES EQUIVALENTES EN ECUACIONES CUADRÁTICAS
LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS PUEDEN SER TRANSFORMADAS A FORMAS EQUIVALENTES PARA FACILITAR SU RESOLUCIÓN
8. INECUACIONES POLINÓMICAS
DEFINICIÓN DE INECUACIÓN POLINÓMICA
UNA INECUACIÓN POLINÓMICA ES UNA DESIGUALDAD QUE INVOLUCRA UNA EXPRESIÓN POLINÓMICA Y PUEDE TENER UNA DE LAS FORMAS SIGUIENTES: AX^N + BX^(N-1) + ... + C ≥ 0, AX^N + BX^(N-1) + ... + C ≤ 0, AX^N + BX^(N-1) + ... + C > 0 Ó AX^N + BX^(N-1) + ... + C ; 0
GRÁFICA DE EXPRESIONES POLINÓMICAS
LA GRÁFICA DE UNA EXPRESIÓN POLINÓMICA PUEDE SER ANALIZADA PARA DETERMINAR LOS INTERVALOS EN LOS QUE LA EXPRESIÓN ES MAYOR O MENOR QUE CERO
EJEMPLOS DE INECUACIONES POLINÓMICAS
EJEMPLOS DE INECUACIONES POLINÓMICAS SON X^2 + 2X < 15 Y 4X^2 ≥ 12X - 9
9. INECUACIONES RACIONALES
DEFINICIÓN DE EXPRESIÓN RACIONAL
UNA EXPRESIÓN RACIONAL ES UNA EXPRESIÓN DE LA FORMA P(X)/Q(X), DONDE P(X) Y Q(X) SON POLINOMIOS
GRÁFICA DE EXPRESIONES RACIONALES
LA GRÁFICA DE UNA EXPRESIÓN RACIONAL PUEDE SER ANALIZADA PARA DETERMINAR LOS PUNTOS DONDE LA EXPRESIÓN ES CERO O NO ESTÁ DEFINIDA
COEFICIENTES LINEALES Y TÉRMINOS CONSTANTES EN INECUACIONES RACIONALES
LOS COEFICIENTES LINEALES Y TÉRMINOS CONSTANTES PUEDEN AFECTAR LA GRÁFICA Y SOLUCIÓN DE INECUACIONES RACIONALES
LOS NÚMEROS REALES
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00
En la recta real, los números a la ______ son mayores y los de la ______ son menores.
derecha
izquierda
01
Números Naturales - Símbolo
Representados con la letra N, son para contar objetos.
02
Números Enteros - Característica
Incluyen naturales y sus simétricos negativos, en toda la recta numérica.
