Dinamica dei sistemi rotanti

La Dinamica della Rotazione Terrestre e il Vettore di Velocità

La Terra compie una rotazione su se stessa con una velocità angolare costante, indicata con il simbolo omega (Ω). Un vettore di velocità (c) che si muove con la Terra, ma che non ha un moto proprio rispetto alla superficie terrestre, può essere analizzato nel contesto del sistema di riferimento rotante del pianeta. Tale vettore può essere scomposto in una componente parallela all'asse di rotazione (c parallela) e una componente perpendicolare (c ortogonale). La componente ortogonale è determinata dal prodotto del modulo di c per il seno dell'angolo θ, che c forma con l'asse di rotazione. In un intervallo di tempo infinitesimale dt, il vettore c subisce una variazione delta c, che geometricamente rappresenta l'arco di circonferenza con raggio c ortogonale e angolo delta lambda. Questa variazione è perpendicolare sia al vettore c che alla velocità angolare Ω.

Il Prodotto Vettoriale e la Velocità Relativa

La variazione delta c del vettore di velocità può essere espressa tramite il prodotto vettoriale tra la velocità angolare Ω e il vettore c, moltiplicato per l'intervallo di tempo dt. Il prodotto vettoriale genera un vettore perpendicolare al piano definito dai vettori originali, con una magnitudine pari al prodotto delle loro magnitudini e del seno dell'angolo tra di loro. Matematicamente, la derivata della velocità del vettore c rispetto al tempo, ovvero dc/dt, è uguale al prodotto vettoriale Ω x c. Questo indica che, nonostante il vettore c non presenti un moto proprio nel sistema di riferimento rotante della Terra, esso ha una velocità relativa quando osservato da un sistema di riferimento inerziale esterno.

L'Accelerazione di Coriolis e l'Accelerazione Centrifuga

Gli oggetti in movimento sulla superficie terrestre sono influenzati da forze apparenti come l'accelerazione di Coriolis e l'accelerazione centrifuga, dovute alla rotazione del pianeta. L'accelerazione di Coriolis è proporzionale al prodotto vettoriale tra la velocità angolare Ω e la velocità relativa dell'oggetto nel sistema di riferimento rotante (uR), e si manifesta solo se l'oggetto è in movimento. L'accelerazione centrifuga, invece, è proporzionale al prodotto vettoriale di Ω con se stesso e con il vettore posizione r, ed è sempre presente a causa della rotazione terrestre, indipendentemente dal movimento dell'oggetto. Queste accelerazioni apparenti sono essenziali per analizzare il movimento degli oggetti sulla Terra e devono essere incluse nelle equazioni del moto per una descrizione accurata nel sistema di riferimento rotante.

Le Equazioni del Moto in un Sistema di Riferimento Rotante

Le equazioni del moto per un oggetto sulla Terra includono termini aggiuntivi rispetto a quelle in un sistema di riferimento inerziale. L'accelerazione totale di un oggetto in un sistema inerziale è la somma dell'accelerazione osservata nel sistema di riferimento rotante più l'accelerazione di Coriolis e l'accelerazione centrifuga. Per descrivere il movimento nel sistema di riferimento rotante, è necessario sottrarre questi due termini aggiuntivi dall'accelerazione totale. L'analisi delle componenti dell'accelerazione di Coriolis mostra che essa ha un effetto significativo sul movimento orizzontale degli oggetti, mentre la forza di gravità è predominante nella direzione verticale.

Semplificazione delle Equazioni del Moto e l'Approssimazione Idrostatica

Per semplificare le equazioni del moto, gli scienziati adottano l'analisi dimensionale per valutare l'importanza relativa dei vari termini e scartare quelli meno significativi. Ad esempio, la velocità verticale (w) è tipicamente molto inferiore a quella orizzontale (u, v), e l'accelerazione verticale può essere trascurata rispetto alla forza di gravità. Questo conduce all'approssimazione idrostatica, che assume che la pressione aumenti con la profondità per bilanciare la forza di gravità, senza accelerazioni verticali significative. Questa approssimazione è cruciale per la comprensione della dinamica degli oceani e dell'atmosfera, dove le velocità verticali sono piccole e variano poco nel tempo.