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Spazi vettoriali e sottospazi

Mappa concettuale

Algorino

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I sottospazi vettoriali sono elementi chiave nella comprensione degli spazi vettoriali. Scopri come le operazioni di somma e moltiplicazione per scalare definiscono la struttura di questi sottoinsiemi, e come la dimensione e le basi determinano le proprietà uniche di ogni spazio. Impara l'importanza dei teoremi fondamentali per analizzare sistemi lineari e sottospazi.

Sottospazi Vettoriali e le loro Proprietà Fondamentali

In uno spazio vettoriale V su un campo k, un sottospazio U è un sottoinsieme di V che è chiuso rispetto alle operazioni di somma vettoriale e moltiplicazione per scalare. In altre parole, per ogni coppia di vettori in U e ogni scalare in k, la somma dei vettori e il prodotto di un vettore per uno scalare appartengono ancora a U. Se consideriamo due sottospazi U e W di V, la loro intersezione U ∩ W è anch'essa un sottospazio. Tuttavia, la loro unione U ∪ W è un sottospazio solo se uno dei due è contenuto nell'altro. La somma U + W è definita come l'insieme di tutti i vettori che possono essere scritti come la somma di un vettore di U e un vettore di W, e rappresenta il più piccolo sottospazio che contiene sia U che W. Se ogni vettore in U + W può essere espresso in modo unico come somma di un vettore di U e uno di W, allora si dice che U e W sono in somma diretta, e si scrive U ⊕ W. La condizione necessaria e sufficiente affinché U e W siano in somma diretta è che la loro intersezione U ∩ W sia {0V}, dove 0V è il vettore nullo di V.
Struttura cristallina tridimensionale con sfere colorate connesse da aste metalliche su superficie riflettente con sfondo degradante.

Generatori, Combinazioni Lineari e Sottospazi Generati

Un insieme di vettori {v1, ..., vr} in uno spazio vettoriale V è detto sistema di generatori se ogni vettore in V può essere espresso come combinazione lineare di questi vettori. Una combinazione lineare è una somma del tipo a1v1 + ... + arvr, dove gli ai sono scalari nel campo k. Il sottospazio generato da un insieme di vettori è l'insieme di tutte le combinazioni lineari possibili di quei vettori e viene denotato con

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00

Condizione per U ∩ W essere sottospazio

U ∩ W è sottospazio se chiuso rispetto a somma vettoriale e moltiplicazione per scalare.

01

Condizione per U ∪ W essere sottospazio

U ∪ W è sottospazio solo se U ⊆ W o W ⊆ U.

02

Definizione di somma U + W

U + W è l'insieme di tutti i vettori esprimibili come somma di un vettore di U e uno di W.

Q&A

Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento

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