Spazi vettoriali e sottospazi

Sottospazi Vettoriali e le loro Proprietà Fondamentali

In uno spazio vettoriale V su un campo k, un sottospazio U è un sottoinsieme di V che è chiuso rispetto alle operazioni di somma vettoriale e moltiplicazione per scalare. In altre parole, per ogni coppia di vettori in U e ogni scalare in k, la somma dei vettori e il prodotto di un vettore per uno scalare appartengono ancora a U. Se consideriamo due sottospazi U e W di V, la loro intersezione U ∩ W è anch'essa un sottospazio. Tuttavia, la loro unione U ∪ W è un sottospazio solo se uno dei due è contenuto nell'altro. La somma U + W è definita come l'insieme di tutti i vettori che possono essere scritti come la somma di un vettore di U e un vettore di W, e rappresenta il più piccolo sottospazio che contiene sia U che W. Se ogni vettore in U + W può essere espresso in modo unico come somma di un vettore di U e uno di W, allora si dice che U e W sono in somma diretta, e si scrive U ⊕ W. La condizione necessaria e sufficiente affinché U e W siano in somma diretta è che la loro intersezione U ∩ W sia {0V}, dove 0V è il vettore nullo di V.

Generatori, Combinazioni Lineari e Sottospazi Generati

Un insieme di vettori {v1, ..., vr} in uno spazio vettoriale V è detto sistema di generatori se ogni vettore in V può essere espresso come combinazione lineare di questi vettori. Una combinazione lineare è una somma del tipo a1v1 + ... + arvr, dove gli ai sono scalari nel campo k. Il sottospazio generato da un insieme di vettori è l'insieme di tutte le combinazioni lineari possibili di quei vettori e viene denotato con

Basi e Dimensione di uno Spazio Vettoriale

Una base di uno spazio vettoriale V è un insieme di vettori {b1, ..., bn} che sono sia linearmente indipendenti sia generatori di V. Ciò significa che ogni vettore in V può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base. La dimensione di V, denotata con dim(V), è il numero di vettori in una base di V. Il Teorema di Steinitz afferma che tutte le basi di uno spazio vettoriale finitamente generato hanno lo stesso numero di elementi, che è la dimensione di V. Se V è finitamente generato, è possibile selezionare una base da un insieme di generatori attraverso un processo di eliminazione dei vettori linearmente dipendenti.

Linearità e Dipendenza Lineare

Un insieme di vettori {v1, ..., vk} in uno spazio vettoriale V è detto linearmente indipendente se l'unica combinazione lineare che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti scalari uguali a zero. Se esiste una combinazione lineare non banale che produce il vettore nullo, allora gli vettori sono detti linearmente dipendenti. Un insieme di vettori linearmente indipendenti che non genera ancora tutto lo spazio V può essere esteso a una base aggiungendo ulteriori vettori, come stabilito dal Teorema del completamento ad una base. La dimensione di un sottospazio W di V è sempre minore o uguale alla dimensione di V (dim(W) ≤ dim(V)), e se dim(W) = dim(V), allora W è uguale a V.

La Formula di Grassmann e il Rango di una Matrice

La Formula di Grassmann fornisce una relazione tra le dimensioni di due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V: dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U ∩ W). Questa formula è particolarmente utile quando si lavora con la somma diretta di sottospazi, poiché in quel caso dim(U ∩ W) = 0 e quindi dim(U ⊕ W) = dim(U) + dim(W). Il rango di una matrice A, denotato con ρ(A), è definito come la dimensione dello spazio generato dalle sue righe o dalle sue colonne, che sono equivalenti. Il rango è essenziale per determinare la risolubilità di un sistema lineare e per identificare basi e sottospazi associati alla matrice.

Teoremi Fondamentali per Sistemi Lineari e Sottospazi

Il Teorema di Rouché-Capelli stabilisce che un sistema lineare AX = B è compatibile, ovvero ammette soluzione, se e solo se il rango della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della matrice ampliata (A|B). Per i sistemi lineari omogenei AX = 0, l'insieme delle soluzioni forma un sottospazio vettoriale di V di dimensione n - ρ(A), dove n è il numero di colonne di A. Questi risultati sono fondamentali per analizzare le proprietà dei sistemi lineari e per comprendere la struttura dei sottospazi all'interno degli spazi vettoriali.