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I numeri complessi, con le loro operazioni fondamentali di somma e prodotto, sono essenziali nell'algebra. Questi numeri si esprimono in forma cartesiana o polare e hanno applicazioni in vari campi della matematica. Le relazioni di equivalenza e la cardinalità degli insiemi sono concetti chiave nella teoria degli insiemi, mentre i gruppi, i monoidi, gli anelli e i campi sono strutture algebriche fondamentali che regolano le operazioni matematiche e le loro proprietà.
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I numeri complessi sono coppie ordinate di numeri reali che possono essere espressi nella forma x + iy, dove i è l'unità immaginaria
Somma
La somma di due numeri complessi è data dalla somma delle loro parti reali e immaginarie
Prodotto
Il prodotto di due numeri complessi è dato dalla differenza delle loro parti reali e immaginarie
Modulo
Il modulo di un numero complesso rappresenta la sua distanza dall'origine nel piano complesso
Argomento
L'argomento di un numero complesso è l'angolo formato dal vettore rappresentativo con l'asse reale
Una relazione di equivalenza su un insieme è una relazione binaria che è riflessiva, simmetrica e transitiva
La relazione di congruenza modulo n è un esempio di relazione di equivalenza in cui due numeri sono considerati equivalenti se la loro differenza è un multiplo di n
Insieme Quoziente
L'insieme quoziente di un insieme rispetto a una relazione di equivalenza è l'insieme di tutte le sue classi di equivalenza
Cardinalità
La cardinalità di un insieme è una misura del numero di elementi in esso contenuti
Un gruppo è una struttura algebrica che consiste di un insieme e un'operazione binaria che soddisfa alcune proprietà
Sottogruppi
Un sottogruppo è un sottoinsieme di un gruppo che forma a sua volta un gruppo rispetto alla stessa operazione
Ordine
L'ordine di un elemento in un gruppo è il minimo intero positivo che lo rende l'elemento neutro
Omomorfismo
Un omomorfismo di gruppi è una funzione che preserva l'operazione di gruppo
Isomorfismo
Un isomorfismo è un omomorfismo biunivoco tra due gruppi
Un anello è una struttura algebrica che comprende due operazioni: l'addizione e la moltiplicazione
Un campo è un anello in cui ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo e l'operazione di moltiplicazione è commutativa
00
Definizione di numero complesso
Coppia ordinata di reali (x, y), scritta come x + iy dove i è l'unità immaginaria con i^2 = -1.
01
Somma di numeri complessi
Somma algebrica delle parti reali e immaginarie: (x + iy) + (u + iw) = (x + u) + i(y + w).
02
Modulo di un numero complesso
Distanza dall'origine nel piano complesso, calcolata con √(x^2 + y^2) per z = x + iy.
