Algebra e Teoria dei Numeri

Operazioni Fondamentali sui Numeri Complessi

I numeri complessi sono definiti come coppie ordinate di numeri reali \((x, y)\), comunemente scritti nella forma \(x + iy\), dove \(i\) è l'unità immaginaria che soddisfa la condizione \(i^2 = -1\). Le operazioni di somma e prodotto tra numeri complessi sono fondamentali per la loro algebra. La somma di due numeri complessi \(x + iy\) e \(u + iw\) è \( (x + u) + i(y + w) \), mentre il prodotto è dato da \( (xu - yw) + i(xw + yu) \). Il modulo di un numero complesso \(z\), denotato con \(|z|\), rappresenta la sua distanza dall'origine nel piano complesso e si calcola con \( \sqrt{x^2 + y^2} \). L'argomento di \(z\), denotato con \( \text{Arg}(z) \), è l'angolo formato dal vettore rappresentativo del numero complesso con l'asse reale, misurato in radianti. Un numero complesso può essere espresso anche in forma trigonometrica come \( |z|(\cos(\text{Arg}(z)) + i\sin(\text{Arg}(z))) \) o in forma esponenziale come \( |z|e^{i\text{Arg}(z)} \). Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni polinomio non costante di grado \( n \) con coefficienti complessi ha esattamente \( n \) radici nel campo dei numeri complessi, contando le radici con la loro molteplicità.

Relazioni di Equivalenza e Cardinalità degli Insiemi

Una relazione di equivalenza su un insieme \( A \) è una relazione binaria che è contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva. Per esempio, la relazione di congruenza modulo \( n \) è una relazione di equivalenza in cui due numeri sono considerati equivalenti se la loro differenza è un multiplo intero di \( n \). Le classi di equivalenza partizionano l'insieme \( A \) in sottoinsiemi disgiunti di elementi equivalenti. L'insieme quoziente di \( A \) rispetto a una relazione di equivalenza è l'insieme di tutte le sue classi di equivalenza. La cardinalità di un insieme è una misura del "numero di elementi" in esso contenuti. Due insiemi hanno la stessa cardinalità, o sono equipotenti, se esiste una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi. Un insieme è detto finito se la sua cardinalità è un numero naturale specifico; è infinito se non è equipotente a nessun suo sottoinsieme proprio. Un insieme è numerabile se è equipotente all'insieme dei numeri naturali. Il teorema di Cantor stabilisce che l'insieme delle parti di qualsiasi insieme \( A \) ha una cardinalità strettamente maggiore di \( A \), anche se \( A \) è infinito.

Struttura dei Gruppi e Teoremi Correlati

Un gruppo è una struttura algebrica che consiste di un insieme dotato di un'operazione binaria che soddisfa le proprietà di chiusura, associatività, esistenza dell'elemento neutro e dell'inverso per ogni elemento. Un sottogruppo è un sottoinsieme di un gruppo che forma a sua volta un gruppo rispetto alla stessa operazione. Il sottogruppo generato da un insieme \( A \) è definito come l'intersezione di tutti i sottogruppi che includono \( A \). L'ordine di un elemento \( g \) in un gruppo è il minimo intero positivo \( n \) tale che \( g^n \) sia l'elemento neutro; se tale \( n \) non esiste, l'ordine è detto infinito. I gruppi quoziente sono costruiti identificando elementi del gruppo che sono equivalenti sotto una relazione di equivalenza congruente con l'operazione di gruppo. Il teorema di Lagrange afferma che l'ordine di un sottogruppo è un divisore dell'ordine del gruppo. Un omomorfismo di gruppi è una funzione tra gruppi che preserva l'operazione di gruppo, e il nucleo di un omomorfismo è l'insieme degli elementi che vengono mappati nell'elemento neutro del secondo gruppo, essendo un sottogruppo normale del primo gruppo. Un isomorfismo è un omomorfismo biunivoco; se esiste un isomorfismo tra due gruppi, essi sono detti isomorfi.

Monoidi, Anelli e Campi

Un monoide è una struttura algebrica che consiste di un insieme e un'operazione binaria che è associativa e possiede un elemento neutro. A differenza dei gruppi, non è richiesto che ogni elemento abbia un inverso. Se l'operazione è commutativa, il monoide è detto commutativo o Abeliano. Un anello è una struttura algebrica che comprende due operazioni: l'addizione, che forma un gruppo Abeliano, e la moltiplicazione, che è associativa e distributiva rispetto all'addizione. Un campo è un anello in cui ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo, e l'operazione di moltiplicazione è commutativa. In un campo, quindi, si possono eseguire le quattro operazioni aritmetiche (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, escluso lo zero per quest'ultima) senza uscire dall'insieme.