La regressione lineare semplice

Fondamenti della Regressione Lineare Semplice

La regressione lineare semplice è un metodo statistico che permette di analizzare e modellare la relazione tra due variabili quantitative: una variabile indipendente (o predittore) x e una variabile dipendente (o risposta) y. L'obiettivo è di determinare una linea retta, nota come retta di regressione, che meglio approssima la distribuzione dei dati nel piano cartesiano. Questa linea è descritta dall'equazione ŷ = b0 + b1x, dove ŷ è il valore predetto di y, b0 è l'intercetta con l'asse delle ordinate, e b1 è il coefficiente angolare che rappresenta la pendenza della retta. I parametri b0 e b1 sono calcolati minimizzando la somma dei quadrati dei residui, ovvero le distanze verticali tra i punti dati e la retta di regressione. La formula per il calcolo di b1 è b1 = sXY / sX^2, dove sXY è la covarianza tra x e y, e sX è la deviazione standard di x. L'intercetta b0 si ottiene dalla relazione b0 = ȳ - b1 * x̄, dove ȳ e x̄ sono le medie delle variabili y e x, rispettivamente.

Interpretazione dei Coefficienti e Capacità Esplicativa del Modello

Il coefficiente b1 indica quanto la variabile dipendente y è prevista cambiare in risposta a un cambiamento unitario della variabile indipendente x. Se b1 è positivo, significa che c'è una relazione diretta tra x e y; se è negativo, la relazione è inversa. L'intercetta b0 rappresenta il valore atteso di y quando x è zero. Per valutare l'efficacia del modello di regressione nel spiegare la variabilità di y, si utilizza il coefficiente di determinazione R^2, che è il quadrato del coefficiente di correlazione lineare r. R^2 varia tra 0 e 1 e indica la percentuale della varianza totale di y che è spiegata dalla variabile indipendente x. Un valore di R^2 vicino a 1 suggerisce che il modello fornisce una buona spiegazione della variabilità di y, mentre un valore vicino a 0 indica che il modello non è esplicativo.

Costruzione di Intervalli di Confidenza e Verifica di Ipotesi

Per valutare la precisione delle stime dei parametri b0 e b1, si costruiscono intervalli di confidenza, che indicano l'intervallo entro il quale ci si aspetta che i veri valori dei parametri cadano con un certo grado di confidenza (tipicamente il 95%). Questi intervalli si basano sulla distribuzione t di Student e tengono conto dell'errore standard delle stime. Inoltre, si effettuano test di ipotesi per verificare la significatività statistica dei parametri. Il test più comune è quello che verifica l'ipotesi nulla H0: β1 = 0, che sostiene che non c'è relazione lineare tra x e y. Se la statistica test T, calcolata come (b1 - β1) / errore standard di b1, è maggiore di un valore critico della distribuzione t per un dato livello di significatività, allora si rifiuta H0, concludendo che c'è una relazione significativa tra le variabili.

Previsione Puntuale e Intervalli di Previsione

La regressione lineare semplice è utilizzata anche per fare previsioni su y basate su nuovi valori di x. La previsione puntuale fornisce una stima del valore atteso di y per un dato valore di x, mentre gli intervalli di previsione forniscono un range entro cui ci si aspetta che il valore reale di y cada, con un certo livello di confidenza. Questi intervalli sono più ampi degli intervalli di confidenza per i parametri del modello, poiché devono tenere conto sia dell'errore nella stima dei parametri sia della variabilità intrinseca di y. Le previsioni sono fondamentali in molte applicazioni pratiche, come la valutazione del valore di mercato degli immobili, dove la variabile indipendente potrebbe essere l'età dell'immobile e la variabile dipendente il suo valore al metro quadrato.