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L'equazione canonica della circonferenza è fondamentale in geometria per definire una figura con tutti i punti equidistanti da un centro. Con centro C(a, b) e raggio r, la formula (x - a)² + (y - b)² = r² descrive la posizione di ogni punto sulla circonferenza. Questa equazione si espande in x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0, permettendo di identificare il centro e il raggio e di analizzare l'interazione con le rette.
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La circonferenza è una figura geometrica piana costituita dall'insieme dei punti che distano una distanza fissa, chiamata raggio, da un punto dato, detto centro
Formula
L'equazione canonica di una circonferenza nel piano cartesiano, con centro nel punto C(a, b) e raggio r, è espressa dalla formula (x - a)² + (y - b)² = r²
Espansione
Espandendo l'equazione canonica, si ottiene x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0
Forma generale
Introducendo i coefficienti A = -2a, B = -2b e C = a² + b² - r², si può riscrivere l'equazione in forma generale come x² + y² + Ax + By + C = 0
Per determinare l'equazione di una specifica circonferenza, è necessario conoscere sia le coordinate del centro sia il valore del raggio
L'equazione x² + y² + Ax + By + C = 0 descrive una circonferenza se la condizione a²/4 + b²/4 - c > 0 è soddisfatta, assicurando che il raggio sia un valore reale e positivo
Coordinate del centro
Il centro della circonferenza è individuato dalle coordinate (-A/2, -B/2)
Calcolo del raggio
Il raggio r è calcolabile mediante la radice quadrata di (A²/4 + B²/4 - C)
È importante notare che i coefficienti dei termini x² e y² devono essere uguali e non nulli per rappresentare una circonferenza; se non sono unitari, l'equazione può essere normalizzata dividendo tutti i termini per il coefficiente comune, ottenendo così la forma canonica
Se A = 0, il centro si trova sull'asse delle ordinate (asse y)
Se B = 0, il centro si posiziona sull'asse delle ascisse (asse x)
Se C = 0, la circonferenza passa per l'origine del sistema di coordinate
Nel caso in cui sia A che B siano nulli, la circonferenza ha il centro nell'origine e l'equazione si riduce a x² + y² = r², che rappresenta una circonferenza centrata nell'origine con raggio r
La relazione tra una retta e una circonferenza è definita dalla distanza d del centro della circonferenza dalla retta stessa
Retta esterna
Se d è maggiore del raggio r, la retta non interseca la circonferenza (retta esterna)
Retta tangente
Se d è uguale a r, la retta è tangente alla circonferenza e tocca la curva in un solo punto
Retta secante
Se d è minore di r, la retta è secante e interseca la circonferenza in due punti
Per trovare le equazioni delle rette tangenti a una circonferenza da un punto P esterno, si può impostare un sistema di equazioni che include l'equazione della circonferenza e l'equazione del fascio di rette passanti per P. Applicando la condizione di tangenza, si determinano i valori del parametro che definiscono le pendenze delle rette tangenti
La circonferenza e il cerchio hanno trovato applicazione in numerosi ambiti, tra cui arte, architettura e design
In campo ludico, la circonferenza è utilizzata per giochi come il tangram ovale, che consiste nel dividere un uovo disegnato con archi di circonferenza in pezzi da riorganizzare per creare diverse figure
Questi esempi mostrano come la matematica possa essere utilizzata non solo come strumento di analisi, ma anche come fonte di ispirazione per la creatività
00
Definizione di circonferenza
Insieme dei punti equidistanti da un centro in un piano
01
Equazione canonica circonferenza
(x - a)² + (y - b)² = r², con centro C(a, b) e raggio r
02
Espansione equazione canonica
x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0, con A = -2a, B = -2b, C = a² + b² - r²
