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La Circonferenza nel Piano Cartesiano

L'equazione canonica della circonferenza è fondamentale in geometria per definire una figura con tutti i punti equidistanti da un centro. Con centro C(a, b) e raggio r, la formula (x - a)² + (y - b)² = r² descrive la posizione di ogni punto sulla circonferenza. Questa equazione si espande in x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0, permettendo di identificare il centro e il raggio e di analizzare l'interazione con le rette.

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1

Definizione di circonferenza

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Insieme dei punti equidistanti da un centro in un piano

2

Equazione canonica circonferenza

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(x - a)² + (y - b)² = r², con centro C(a, b) e raggio r

3

Espansione equazione canonica

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x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0, con A = -2a, B = -2b, C = a² + b² - r²

4

Per disegnare una ______ è necessario conoscere il suo ______ e il suo ______.

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circonferenza centro raggio

5

L'equazione di una circonferenza è rappresentata da x² + y² + Ax + By + C = 0, a patto che la condizione ______/4 + ______/4 - ______ > 0 sia rispettata.

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a² b² c

6

Perché un'equazione rappresenti una circonferenza, i coefficienti di x² e y² devono essere ______ e ______.

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uguali non nulli

7

Se i coefficienti di x² e y² non sono unitari, l'equazione può essere ______ per ottenere la forma ______.

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normalizzata canonica

8

A = 0 in equazione circonferenza

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Centro su asse y

9

B = 0 in equazione circonferenza

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Centro su asse x

10

Se la distanza dal centro di una circonferenza a una retta è ______ del raggio, la retta non la ______.

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maggiore interseca

11

Quando una retta ______ una circonferenza in due punti, la sua distanza dal centro è ______ del raggio.

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interseca minore

12

Per calcolare le equazioni delle rette ______ da un punto esterno, si utilizza un sistema che comprende l'equazione della circonferenza e quella del ______ di rette per il punto.

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tangenti fascio

13

I valori che definiscono le ______ delle rette tangenti si ottengono applicando la ______ di tangenza al sistema di equazioni.

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pendenze condizione

14

Vasilij Kandinskij e il cerchio

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Artista che ha lodato il cerchio per le sue 'possibilità interiori', esempio di ispirazione matematica nell'arte.

15

Tangram ovale

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Gioco che utilizza archi di circonferenza per dividere un uovo in pezzi da riorganizzare in varie figure.

16

Matematica e creatività

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La matematica non è solo analisi ma anche fonte di ispirazione per la creatività in campi diversi.

Q&A

Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento

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Equazione Canonica della Circonferenza nel Piano Cartesiano

La circonferenza è una figura geometrica piana costituita dall'insieme dei punti che distano una distanza fissa, chiamata raggio, da un punto dato, detto centro. L'equazione canonica di una circonferenza nel piano cartesiano, con centro nel punto C(a, b) e raggio r, è espressa dalla formula (x - a)² + (y - b)² = r². Espandendo questa equazione, si ottiene x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0. Introducendo i coefficienti A = -2a, B = -2b e C = a² + b² - r², si può riscrivere l'equazione in forma generale come x² + y² + Ax + By + C = 0. Per determinare l'equazione di una specifica circonferenza, è necessario conoscere sia le coordinate del centro sia il valore del raggio. Ad esempio, una circonferenza con centro in C(0, -1) e raggio 1 ha come equazione x² + (y + 1)² = 1, che semplificata diventa x² + y² + 2y = 0.
Compasso metallico su foglio bianco con cerchio inchiostro nero, matita in legno, riga trasparente e linee intersecanti su tavolo legno.

Rappresentazione Grafica e Proprietà dell'Equazione della Circonferenza

La rappresentazione grafica di una circonferenza richiede la conoscenza del centro e del raggio. L'equazione x² + y² + Ax + By + C = 0 descrive una circonferenza se la condizione a²/4 + b²/4 - c > 0 è soddisfatta, assicurando che il raggio sia un valore reale e positivo. Il centro della circonferenza è individuato dalle coordinate (-A/2, -B/2), e il raggio r è calcolabile mediante la radice quadrata di (A²/4 + B²/4 - C). È importante notare che i coefficienti dei termini x² e y² devono essere uguali e non nulli per rappresentare una circonferenza; se non sono unitari, l'equazione può essere normalizzata dividendo tutti i termini per il coefficiente comune, ottenendo così la forma canonica.

Casi Particolari dell'Equazione della Circonferenza

L'equazione della circonferenza presenta casi particolari che semplificano la sua analisi. Se A = 0, il centro si trova sull'asse delle ordinate (asse y), mentre se B = 0, il centro si posiziona sull'asse delle ascisse (asse x). Se C = 0, la circonferenza passa per l'origine del sistema di coordinate. Nel caso in cui sia A che B siano nulli, la circonferenza ha il centro nell'origine e l'equazione si riduce a x² + y² = r², che rappresenta una circonferenza centrata nell'origine con raggio r.

Interazione tra Rette e Circonferenze

La relazione tra una retta e una circonferenza è definita dalla distanza d del centro della circonferenza dalla retta stessa. Se d è maggiore del raggio r, la retta non interseca la circonferenza (retta esterna). Se d è uguale a r, la retta è tangente alla circonferenza e tocca la curva in un solo punto. Se d è minore di r, la retta è secante e interseca la circonferenza in due punti. Per trovare le equazioni delle rette tangenti a una circonferenza da un punto P esterno, si può impostare un sistema di equazioni che include l'equazione della circonferenza e l'equazione del fascio di rette passanti per P. Applicando la condizione di tangenza, si determinano i valori del parametro che definiscono le pendenze delle rette tangenti.

Applicazioni Pratiche e Curiosità Matematiche

La circonferenza e il cerchio hanno trovato applicazione in numerosi ambiti, tra cui arte, architettura e design. Il pittore Vasilij Kandinskij, ad esempio, ha esaltato il cerchio per le sue "possibilità interiori". In campo ludico, la circonferenza è utilizzata per giochi come il tangram ovale, che consiste nel dividere un uovo disegnato con archi di circonferenza in pezzi da riorganizzare per creare diverse figure. Questi esempi mostrano come la matematica possa essere utilizzata non solo come strumento di analisi, ma anche come fonte di ispirazione per la creatività.