Statica e equilibrio
Mappa concettuale
L'equilibrio statico nelle strutture isostatiche è fondamentale per l'ingegneria civile. Questo concetto include l'analisi delle forze, dei momenti e delle reazioni vincolari, nonché la determinazione del baricentro e del momento di inerzia, elementi chiave per la stabilità strutturale.
Riassunto
Schema
Equilibrio statico nelle strutture isostatiche
Nello studio della statica, una branca della meccanica classica, le strutture isostatiche come le travi sono analizzate per determinare le condizioni di equilibrio. Un corpo si trova in equilibrio statico quando la somma vettoriale delle forze esterne agenti su di esso, inclusi i carichi applicati e le reazioni vincolari, è pari a zero e quando la somma dei momenti generati da queste forze rispetto a qualsiasi punto è anch'essa nulla. Per stabilire le reazioni vincolari, si impiegano tre equazioni fondamentali di equilibrio: l'equilibrio alla traslazione lungo l'asse orizzontale (asse x), l'equilibrio alla traslazione lungo l'asse verticale (asse y) e l'equilibrio al momento rotazionale. Queste equazioni costituiscono un sistema risolvibile di tre equazioni con tre incognite, che sono le reazioni vincolari. Per formulare correttamente le equazioni di equilibrio, si adottano convenzioni sui segni: le forze orizzontali sono positive se dirette verso destra, le forze verticali sono positive se dirette verso l'alto, e i momenti sono considerati positivi se inducono una rotazione in senso antiorario. Se le soluzioni per le reazioni vincolari risultano negative, ciò indica che il senso assunto inizialmente per la forza o il momento era errato e deve essere invertito.Calcolo della risultante delle reazioni vincolari
Il calcolo della risultante delle reazioni vincolari in una struttura isostatica si effettua sommando vettorialmente le forze vincolari. La risultante, indicata con RV, è la somma vettoriale delle reazioni vincolari, come ad esempio Ve e Va. La direzione e il senso della risultante sono determinati considerando l'equilibrio dei momenti secondo il teorema dei momenti di Varignon, che afferma che il momento risultante è uguale alla somma dei momenti delle singole forze rispetto a un punto. La direzione della risultante è parallela a quella del carico distribuito totale, e il suo punto di applicazione coincide con il baricentro del sistema di carichi. Per mantenere l'equilibrio statico, la risultante dei carichi esterni e la risultante delle reazioni vincolari devono essere uguali in modulo, direzione e avere verso opposto.Travi con sbalzi e calcolo delle reazioni vincolari
Le travi con sbalzi, che si estendono oltre i supporti, richiedono un'analisi particolare per determinare le reazioni vincolari. Nonostante la presenza di sbalzi, la trave deve essere considerata isostatica per poter applicare le tre equazioni di equilibrio standard. Queste equazioni permettono di calcolare le reazioni nei supporti, tenendo conto dei carichi applicati sia sulla campata principale che sugli sbalzi. La procedura di calcolo non varia rispetto a quella per travi senza sbalzi, ma è essenziale considerare l'effetto dei carichi sugli sbalzi nell'equilibrio dei momenti.Il baricentro e la sua determinazione
Il baricentro, o centro di massa, di un corpo è il punto in cui si può considerare concentrata l'intera massa del corpo per l'analisi del moto e dell'equilibrio. La posizione del baricentro è cruciale per determinare il comportamento di un corpo sotto l'azione della gravità. Per corpi omogenei e simmetrici, il baricentro coincide con il centro geometrico. La determinazione del baricentro può essere effettuata attraverso metodi grafici o analitici. Nel caso di sistemi discreti, il baricentro si trova calcolando la media ponderata delle posizioni delle masse puntiformi, mentre per corpi continui si utilizza l'integrazione per calcolare il centro di massa. Il teorema dei momenti statici, che afferma che la somma dei momenti statici delle parti di un corpo rispetto a un asse è uguale al momento statico dell'intero corpo rispetto allo stesso asse, è fondamentale in questo calcolo.Momento di inerzia e teorema di trasposizione
Il momento di inerzia di un corpo rispetto a un asse è una misura della sua resistenza alla rotazione attorno a quell'asse. Viene calcolato come la somma dei prodotti delle masse puntiformi per il quadrato delle loro distanze dall'asse. Il momento di inerzia è sempre positivo e si esprime in unità di massa per distanza al quadrato (ad esempio, kg·m²). Il teorema di trasposizione, noto anche come teorema degli assi paralleli, consente di calcolare il momento di inerzia di un corpo rispetto a un asse parallelo a un asse passante per il baricentro, conoscendo il momento di inerzia rispetto all'asse baricentrico e la distanza tra i due assi. Analogamente, il momento di inerzia polare si riferisce alla resistenza alla rotazione attorno a un punto, detto polo, e può essere calcolato per un punto qualsiasi utilizzando il valore relativo al baricentro e la distanza tra i due punti.Centro di inerzia e nocciolo centrale di inerzia
Il centro di inerzia di una sezione è il punto in cui si calcolano i momenti di inerzia principali, ovvero i valori massimi e minimi. L'ellisse di inerzia, definita rispetto agli assi principali di inerzia, ha come semiassi i valori dei momenti di inerzia principali. Il nocciolo centrale di inerzia è una regione geometrica all'interno della quale la posizione del punto di applicazione di una forza non genera tensioni di trazione su nessuna sezione della struttura. Questo concetto è fondamentale per la progettazione strutturale, in quanto garantisce che le forze applicate non superino la resistenza del materiale, preservando così l'integrità e la stabilità della struttura.
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Equilibrio statico
Condizioni di equilibrio
Un corpo è in equilibrio statico quando la somma vettoriale delle forze esterne e dei momenti generati da queste forze è pari a zero
Equazioni di equilibrio
Equilibrio alla traslazione lungo l'asse orizzontale
La somma delle forze orizzontali deve essere uguale a zero per mantenere l'equilibrio statico
Equilibrio alla traslazione lungo l'asse verticale
La somma delle forze verticali deve essere uguale a zero per mantenere l'equilibrio statico
Equilibrio al momento rotazionale
La somma dei momenti generati dalle forze deve essere uguale a zero per mantenere l'equilibrio statico
Reazioni vincolari
Le reazioni vincolari sono le forze che i supporti esercitano sul corpo per mantenere l'equilibrio statico
Travi isostatiche
Analisi delle reazioni vincolari
Le reazioni vincolari si calcolano sommando vettorialmente le forze vincolari
Travi con sbalzi
Anche le travi con sbalzi devono essere considerate isostatiche per poter applicare le equazioni di equilibrio
Baricentro e momento di inerzia
Baricentro
Il baricentro è il punto in cui si può considerare concentrata l'intera massa di un corpo per l'analisi del moto e dell'equilibrio
Momento di inerzia
Il momento di inerzia è una misura della resistenza di un corpo alla rotazione attorno a un asse
Centro di inerzia
Il centro di inerzia è il punto in cui si calcolano i momenti di inerzia principali di una sezione
Statica e equilibrio
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00
Equazioni fondamentali di equilibrio
Equilibrio traslazione asse x, equilibrio traslazione asse y, equilibrio momento rotazionale.
01
Convenzioni sui segni in statica
Forze orizzontali positive verso destra, forze verticali positive verso l'alto, momenti positivi se rotazione antioraria.
02
Interpretazione soluzioni negative
Se reazioni vincolari negative, senso forza/momento iniziale errato, invertire direzione.
