Distribuzioni di Bernoulli e Gaussiana

La Distribuzione Bernoulliana: Definizione e Caratteristiche

La distribuzione di Bernoulli è un modello probabilistico che descrive esperimenti aleatori con due possibili esiti, comunemente denominati "successo" e "insuccesso". Una variabile aleatoria discreta X segue una distribuzione di Bernoulli con parametro p (0 ≤ p ≤ 1) se la sua funzione di massa di probabilità è data da pX(x) = p per x = 1 e pX(x) = 1 - p per x = 0, mentre pX(x) = 0 per tutti gli altri valori di x. Il parametro p rappresenta la probabilità di osservare un successo (x = 1). Per esempio, il lancio di una moneta equilibrata può essere modellato da una distribuzione di Bernoulli con p = 0.5, dove "testa" è considerato un successo (1) e "croce" un insuccesso (0). La notazione X ∼ Bern(p) indica che la variabile aleatoria X è distribuita secondo Bernoulli con parametro p. Questa distribuzione è essenziale per l'analisi statistica di fenomeni binari e per la stima delle probabilità di successo in diversi contesti.

Valore Atteso e Varianza della Distribuzione Bernoulliana

Il valore atteso (o speranza matematica) e la varianza sono due parametri statistici fondamentali per descrivere la distribuzione di Bernoulli. Il valore atteso di una variabile aleatoria X che segue una distribuzione di Bernoulli è E(X) = p, che corrisponde alla probabilità di successo. La varianza, che quantifica la variabilità dei risultati rispetto al valore atteso, è espressa da Var(X) = p(1 - p). Questi parametri sono cruciali per analizzare la distribuzione dei risultati di un esperimento e per effettuare inferenze sulla popolazione da cui i dati sono estratti.

La Distribuzione Gaussiana: Proprietà e Applicazioni

La distribuzione gaussiana, nota anche come distribuzione normale, è una distribuzione di probabilità continua che modella una vasta gamma di fenomeni naturali e sociali. È definita da due parametri: la media µ e la varianza σ^2. La sua funzione di densità di probabilità ha la forma di una campana simmetrica centrata sulla media µ e la sua ampiezza è determinata dalla varianza σ^2. La distribuzione normale è fondamentale in statistica, soprattutto per il teorema del limite centrale, che stabilisce che la somma di variabili aleatorie indipendenti tende a una distribuzione normale, indipendentemente dalla distribuzione originale delle variabili, a condizione che il numero di variabili sia sufficientemente grande. Questo rende la distribuzione normale uno strumento essenziale per l'analisi statistica e per la modellazione di dati continui.

Trasformazioni Lineari e la Distribuzione Normale Standard

Una caratteristica importante della distribuzione gaussiana è che le trasformazioni lineari di una variabile aleatoria normalmente distribuita risultano in una distribuzione normale. In particolare, la standardizzazione di una variabile aleatoria X, attraverso la sottrazione della media µ e la divisione per la deviazione standard σ, produce una variabile aleatoria Z che segue una distribuzione normale standard, con media 0 e varianza 1. Questo processo, noto come normalizzazione, è cruciale per facilitare il calcolo delle probabilità e per il confronto tra variabili aleatorie che seguono distribuzioni normali con parametri differenti.

Calcolo delle Probabilità con la Distribuzione Normale in R

Il linguaggio di programmazione statistica R fornisce funzioni dedicate al calcolo delle probabilità per variabili aleatorie distribuite normalmente. La funzione pnorm(x, µ, σ) calcola la probabilità cumulativa P(X ≤ x) per una variabile aleatoria X con distribuzione normale N(µ, σ^2). Se i parametri µ e σ non sono specificati, la funzione assume che la variabile sia distribuita normalmente con media 0 e varianza 1. Analogamente, la funzione qnorm(α, µ, σ) trova il quantile di ordine α, che è il valore che delimita una proporzione α dei dati al di sotto di esso. Queste funzioni sono indispensabili per l'analisi statistica, permettendo di stimare probabilità e quantili per applicazioni pratiche e teoriche.