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Concetti fondamentali dell'Analisi Matematica

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L'Analisi Matematica si occupa dello studio di limiti, derivate, integrali e funzioni. Questa disciplina esamina le proprietà delle funzioni algebriche e trascendenti, definendo concetti come dominio, codominio e intorni. Si analizzano anche le intersezioni con gli assi cartesiani, gli asintoti e la classificazione delle funzioni in base alla loro simmetria e comportamento. Il limite e la derivata di una funzione sono fondamentali per comprendere la crescita e la concavità, elementi essenziali per l'analisi del comportamento delle funzioni matematiche.

Definizioni Fondamentali di Analisi Matematica

L'Analisi Matematica è il ramo della matematica che studia i concetti di limite, derivata, integrale, e più in generale, le funzioni e le loro proprietà. Una funzione è una relazione tra due insiemi che associa ad ogni elemento del primo insieme (dominio) uno e un solo elemento del secondo insieme (codominio). Gli intorni sono concetti fondamentali in analisi: un intorno di un punto x0 è un insieme di punti del dominio che si trovano a una distanza inferiore a un certo valore positivo r da x0. Le funzioni si distinguono in algebriche, che includono polinomi e funzioni razionali, e trascendenti, come le funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Il dominio di una funzione è l'insieme di valori per cui la funzione è definita, e la sua determinazione richiede di considerare le restrizioni imposte dalle operazioni presenti nella formula della funzione, come la divisione per zero, il calcolo della radice quadrata di numeri negativi e il logaritmo di numeri non positivi.
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Intersezioni, Asintoti e Classificazione delle Funzioni

Le intersezioni di una funzione con gli assi cartesiani sono i punti in cui il grafico della funzione incrocia gli assi. L'intersezione con l'asse delle ordinate (asse Y) avviene nel punto (0, f(0)), se zero appartiene al dominio della funzione. Le intersezioni con l'asse delle ascisse (asse X) corrispondono alle radici della funzione, ovvero i valori di x per cui f(x) = 0. L'insieme immagine di una funzione è l'insieme dei valori che la funzione assume nel suo codominio. Una funzione è definita positiva o negativa a seconda che i suoi valori siano tutti superiori o inferiori a zero. Gli asintoti sono linee che il grafico della funzione si avvicina indefinitamente: possono essere orizzontali, verticali o obliqui. Le funzioni pari e dispari si distinguono per la loro simmetria rispetto all'asse Y o rispetto all'origine, rispettivamente. Una funzione è crescente in un intervallo se, per ogni coppia di punti in quell'intervallo, il valore della funzione aumenta all'aumentare dell'input; è decrescente se il valore della funzione diminuisce.

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00

Definizione di funzione

Relazione tra due insiemi che associa ogni elemento del dominio a un unico elemento del codominio.

01

Funzioni algebriche vs trascendenti

Algebriche: polinomi, razionali. Trascendenti: esponenziali, logaritmiche, trigonometriche.

02

Determinazione del dominio di una funzione

Insieme di valori per cui la funzione è definita, escludendo valori che causano divisione per zero, radice di negativi, logaritmo di non positivi.

Q&A

Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento

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