Circonferenza e cerchio

Definizione e proprietà di circonferenza e cerchio

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti in un piano che distano una quantità costante, detta raggio, da un punto fisso chiamato centro. Il raggio è il segmento che congiunge il centro con un punto qualsiasi della circonferenza e tutti i raggi di una stessa circonferenza sono uguali tra loro. Una corda è un segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza, e il diametro è una corda particolare che passa per il centro e la cui lunghezza è pari al doppio del raggio. Due circonferenze sono congruenti se hanno raggi di uguale lunghezza. Il cerchio è l'insieme dei punti interni alla circonferenza, inclusi quelli sulla circonferenza stessa. Pertanto, un cerchio è definito dal luogo geometrico dei punti che distano dal centro una lunghezza minore o uguale al raggio della circonferenza che lo circoscrive. Analogamente alle circonferenze, due cerchi sono congruenti se hanno raggi o diametri di uguale lunghezza.

Teoremi e costruzioni geometriche legate alla circonferenza

Il teorema della circonferenza circoscritta afferma che, dati tre punti non allineati in un piano, esiste un'unica circonferenza che passa per tutti e tre. La dimostrazione si basa sulla costruzione degli assi dei segmenti congiungenti i punti, che si incontrano in un punto unico, il centro della circonferenza equidistante dai tre punti. Invece, non è possibile tracciare una circonferenza passante per tre punti allineati, poiché gli assi dei segmenti sarebbero paralleli e non si incontrerebbero in un punto comune. Le corde e gli archi di una circonferenza hanno relazioni geometriche specifiche: una corda divide la circonferenza in due archi non congruenti, e ciascun arco è sotteso dalla corda corrispondente.

Angoli e segmenti associati alla circonferenza

Gli angoli al centro sono formati da due raggi che partono dal centro e intercettano un arco di circonferenza. La misura di un angolo al centro è direttamente proporzionale alla lunghezza dell'arco corrispondente. Esiste una relazione biunivoca tra angoli al centro e settori circolari: a angoli al centro congruenti corrispondono settori circolari di uguale area. Un segmento circolare è la regione del cerchio delimitata da un arco e dalla corda che lo sottende, e può essere definito da una o due corde se l'arco è rispettivamente minore o maggiore di una semicirconferenza.

Interazioni tra rette e circonferenze

Una retta può intersecare una circonferenza in modi diversi: se la retta interseca la circonferenza in due punti distinti, è detta secante; se la tocca in un solo punto, è tangente; se non ha punti in comune, è esterna. La relazione tra una retta e una circonferenza è determinata dalla distanza tra il centro della circonferenza e la retta: se tale distanza è maggiore del raggio, la retta è esterna; se è uguale al raggio, la retta è tangente; se è minore, la retta è secante. Inoltre, la tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.

Relazioni tra circonferenze nel piano

Due circonferenze possono interagire in vari modi: se si intersecano in due punti, sono secanti; se si toccano in un solo punto, sono tangenti; se non hanno punti in comune, sono esterne. Le circonferenze tangenti possono essere internamente o esternamente tangenti a seconda della posizione dei loro centri rispetto l'una all'altra. Se due circonferenze hanno lo stesso centro, sono dette concentriche. La distanza tra i centri delle due circonferenze determina la loro relazione reciproca: se è minore della differenza dei raggi, una circonferenza è contenuta nell'altra; se è uguale alla differenza dei raggi, sono tangenti internamente; se è compresa tra la somma e la differenza dei raggi, sono secanti; se è uguale alla somma dei raggi, sono tangenti esternamente; se è maggiore della somma dei raggi, sono disgiunte.